Questão 36. Obtenha uma P.G de:
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .
Passo 1
O enunciado pede: obter uma progressão geométrica (P.G.) com quatro termos tal que:
- a soma dos dois primeiros termos é
; - a soma dos dois últimos termos é
.
Informações dadas:
- Existem exatamente quatro termos (ou seja, a sequência tem forma: primeiro, segundo, terceiro, quarto).
- Soma do 1.º e do 2.º termos:
. - Soma do 3.º e do 4.º termos:
.
Pedido: determinar todos os quatro termos da P.G. que satisfazem essas duas condições.
Passo 2
Vamos representar uma P.G. de quatro termos da forma usual. Se
é o primeiro termo e
a razão, então os quatro termos são, respectivamente:
Explicando:
é o primeiro número da sequência; multiplicando
por
obtemos o segundo termo; multiplicando o segundo por
obtemos o terceiro, e assim por diante. A razão
pode ser positiva ou negativa.
Passo 3
Traduzimos as condições do enunciado em equações usando os termos acima.
Soma dos dois primeiros:
Fatorando
:
Soma dos dois últimos:
Fatorando
:
Passo 4
Observação importante antes de manipular: as equações contêm o fator comum
. Há a possibilidade teórica de
(ou seja,
). Devemos checar isso separadamente porque dividir por zero é proibido.
Se , da primeira equação teríamos
, o que é impossível. Logo,
e podemos dividir entre as duas equações com segurança.
Se
Dividindo a equação
pela equação
(cancelando
), obtemos:
Isso simplifica para
Passo 5
Resolver
dá duas possibilidades:
Vamos tratar cada caso e encontrar
usando
.
Caso
:
Os quatro termos são:
Cheque rápido: soma dos dois primeiros
(ok); soma dos dois últimos
(ok).
Passo 6
Caso
:
Os quatro termos são:
Cheque rápido: soma dos dois primeiros
(ok); soma dos dois últimos
(ok).
Passo 7
Resumo do raciocínio que vale numa prova: represente a P.G. por
; traduza as condições em equações, fatorize para isolar
, verifique se
pode ser zero e, se não for, divida as equações para eliminar
e encontrar
. Depois volte para achar
e escreva os termos e verifique as somas — isso evita erros bobos.
Força aí — você já tem duas P.G. válidas e verificadas!