Questão 36. Obtenha uma P.G de:
a) quatro termos tal que a soma dos dois primeiros é 12 e a soma dos dois últimos é 300 .

Passo 1

O enunciado pede: obter uma progressão geométrica (P.G.) com quatro termos tal que:
  • a soma dos dois primeiros termos é 12;
  • a soma dos dois últimos termos é 300.
Informações dadas:
  • Existem exatamente quatro termos (ou seja, a sequência tem forma: primeiro, segundo, terceiro, quarto).
  • Soma do 1.º e do 2.º termos: 12.
  • Soma do 3.º e do 4.º termos: 300.
Pedido: determinar todos os quatro termos da P.G. que satisfazem essas duas condições.

Passo 2

Vamos representar uma P.G. de quatro termos da forma usual. Se a é o primeiro termo e r a razão, então os quatro termos são, respectivamente:
a,\quad ar,\quad ar^{2},\quad ar^{3}.
Explicando: a é o primeiro número da sequência; multiplicando a por r obtemos o segundo termo; multiplicando o segundo por r obtemos o terceiro, e assim por diante. A razão r pode ser positiva ou negativa.

Passo 3

Traduzimos as condições do enunciado em equações usando os termos acima.
Soma dos dois primeiros:
a + ar = 12.
Fatorando a:
a(1+r) = 12.
Soma dos dois últimos:
ar^{2} + ar^{3} = 300.
Fatorando ar^{2}:
ar^{2}(1+r) = 300.

Passo 4

Observação importante antes de manipular: as equações contêm o fator comum (1+r). Há a possibilidade teórica de 1+r=0 (ou seja, r=-1). Devemos checar isso separadamente porque dividir por zero é proibido.
Se r=-1, da primeira equação teríamos a(1+(-1))=a\cdot 0=12, o que é impossível. Logo, 1+r\neq 0 e podemos dividir entre as duas equações com segurança.
Dividindo a equação ar^{2}(1+r)=300 pela equação a(1+r)=12 (cancelando a(1+r)), obtemos:
\frac{ar^{2}(1+r)}{a(1+r)}=\frac{300}{12}.
Isso simplifica para
r^{2} = \frac{300}{12} = 25.

Passo 5

Resolver r^{2}=25 dá duas possibilidades:
r = 5 \quad\text{ou}\quad r = -5.
Vamos tratar cada caso e encontrar a usando a(1+r)=12.
Caso r=5:
a(1+5)=12 \quad\Rightarrow\quad a\cdot 6 = 12 \quad\Rightarrow\quad a= \frac{12}{6} = 2.
Os quatro termos são:
2,\quad 2\cdot 5 = 10,\quad 2\cdot 5^{2}=50,\quad 2\cdot 5^{3}=250.
Cheque rápido: soma dos dois primeiros 2+10=12 (ok); soma dos dois últimos 50+250=300 (ok).

Passo 6

Caso r=-5:
a(1+(-5))=12 \quad\Rightarrow\quad a( -4 ) = 12 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{12}{-4} = -3.
Os quatro termos são:
-3,\quad -3\cdot(-5)=15,\quad -3\cdot(-5)^{2}=-75,\quad -3\cdot(-5)^{3}=375.
Cheque rápido: soma dos dois primeiros -3+15=12 (ok); soma dos dois últimos -75+375=300 (ok).

Passo 7

Resumo do raciocínio que vale numa prova: represente a P.G. por a,ar,ar^{2},ar^{3}; traduza as condições em equações, fatorize para isolar a(1+r), verifique se 1+r pode ser zero e, se não for, divida as equações para eliminar a e encontrar r. Depois volte para achar a e escreva os termos e verifique as somas — isso evita erros bobos.
Força aí — você já tem duas P.G. válidas e verificadas!

Resposta

(2,10,50,250)
(-3,15,-75,375)

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