Questão 34. Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 2 \end{array}\right]
Em cada parte calcule a matriz pedida.
A^{3}

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left[\begin{array}{ccc} 3 & 0 & -1 \\\\ 0 & -2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 2 \end{array}\right]
e pede para calcular A^{3}.
Informações relevantes: os elementos de A são explicitamente conhecidos (cada entrada da matriz está dada). O objetivo é multiplicar matrizes para obter A^{3}=A\cdot A\cdot A.

Passo 2

Relembrando a definição de multiplicação de matrizes (mini-aula): se B e C são matrizes 3\times3, o produto D=BC é a matriz 3\times3 cujos elementos são dados por
d_{ij}=\sum_{k=1}^{3} b_{ik}c_{kj},
ou seja, para obter o elemento da linha i e coluna j de D multiplica-se elemento a elemento a linha i de B pela coluna j de C e soma-se. Vou aplicar essa regra duas vezes: primeiro para calcular A^{2}=A\cdot A e depois para A^{3}=A^{2}\cdot A.

Passo 3

Calcular A^{2}=A\cdot A. Vou calcular linha a linha e coluna a coluna, aproveitando muitos zeros para simplificar.
Cálculo dos elementos:
  • Primeiro elemento (1,1):
(1,1):\;3\cdot3 + 0\cdot0 + (-1)\cdot5 = 9 + 0 -5 = 4.
  • Elemento (1,2):
(1,2):\;3\cdot0 + 0\cdot(-2) + (-1)\cdot0 = 0+0+0 = 0.
  • Elemento (1,3):
(1,3):\;3\cdot(-1) + 0\cdot0 + (-1)\cdot2 = -3 + 0 -2 = -5.
  • Elemento (2,1):
(2,1):\;0\cdot3 + (-2)\cdot0 + 0\cdot5 = 0.
  • Elemento (2,2):
(2,2):\;0\cdot0 + (-2)\cdot(-2) + 0\cdot0 = 4.
  • Elemento (2,3):
(2,3):\;0\cdot(-1) + (-2)\cdot0 + 0\cdot2 = 0.
  • Elemento (3,1):
(3,1):\;5\cdot3 + 0\cdot0 + 2\cdot5 = 15 + 0 +10 = 25.
  • Elemento (3,2):
(3,2):\;5\cdot0 + 0\cdot(-2) + 2\cdot0 = 0.
  • Elemento (3,3):
(3,3):\;5\cdot(-1) + 0\cdot0 + 2\cdot2 = -5 + 0 +4 = -1.
Portanto
A^{2}=\left[\begin{array}{ccc} 4 & 0 & -5 \\\\ 0 & 4 & 0 \\\\ 25 & 0 & -1 \end{array}\right].

Passo 4

Agora calculo A^{3}=A^{2}\cdot A. Uso a mesma regra (i,j) é a soma dos produtos da linha i de A^{2} pela coluna j de A.
Cálculo dos elementos de A^{3}:
  • Elemento (1,1):
(1,1):\;4\cdot3 + 0\cdot0 + (-5)\cdot5 = 12 + 0 -25 = -13.
  • Elemento (1,2):
(1,2):\;4\cdot0 + 0\cdot(-2) + (-5)\cdot0 = 0.
  • Elemento (1,3):
(1,3):\;4\cdot(-1) + 0\cdot0 + (-5)\cdot2 = -4 + 0 -10 = -14.
  • Elemento (2,1):
(2,1):\;0\cdot3 + 4\cdot0 + 0\cdot5 = 0.
  • Elemento (2,2):
(2,2):\;0\cdot0 + 4\cdot(-2) + 0\cdot0 = -8.
  • Elemento (2,3):
(2,3):\;0\cdot(-1) + 4\cdot0 + 0\cdot2 = 0.
  • Elemento (3,1):
(3,1):\;25\cdot3 + 0\cdot0 + (-1)\cdot5 = 75 + 0 -5 = 70.
  • Elemento (3,2):
(3,2):\;25\cdot0 + 0\cdot(-2) + (-1)\cdot0 = 0.
  • Elemento (3,3):
(3,3):\;25\cdot(-1) + 0\cdot0 + (-1)\cdot2 = -25 + 0 -2 = -27.
Assim obtemos
A^{3}=\left[\begin{array}{ccc} -13 & 0 & -14 \\\\ 0 & -8 & 0 \\\\ 70 & 0 & -27 \end{array}\right].

Resposta

\left[\begin{array}{ccc} -13 & 0 & -14 \\\\ 0 & -8 & 0 \\\\ 70 & 0 & -27 \end{array}\right]

Exercícios relacionados