• Questão 34. Um capacitor é um equipamento que armazena carga elétrica. A carga em um capacitor é acumulada segundo a função
Q(t)=a(1-e^-t / c)
onde a e c são constantes físicas positivas e t é medido em segundos.
a) Qual é a carga inicial do capacitor?
b) Em quanto tempo a carga do capacitor será o dobro da carga inicial?
c) O "steady-state"da carga em um capacitor é o valor para o qual Q(t) se aproxima quando o tempo cresce muito. Determine este valor.

Passo 1

A questão trata da função de carga de um capacitor dada por Q(t)=al(1-e^-t/cr), onde a e c são constantes positivas e t é o tempo em segundos. Para resolver, vamos usar propriedades de funções exponenciais e limites.

Passo 2

Para encontrar a carga inicial, basta avaliar Q(0). Substituindo t=0 na expressão, temos:
Q(0)=al(1-e^0r)=a(1-1)=0
Logo, a carga inicial é zero.

Passo 3

Para achar o tempo em que a carga será o dobro da inicial, definimos Q(t)=2Q(0). Como Q(0)=0, temos que resolver:
al(1-e^-t/cr)=0
Dividindo ambos os lados por a>0 1-e^-t/c=0 e, portanto, e^-t/c=1. A única solução é -t/c=0, isto é, t=0. Não existe outro instante não trivial em que a carga seja “o dobro” de zero.

Passo 4

Para determinar o estado estacionário, calculamos o limite de Q(t) quando ttoinfty. Como e^-t/cto0, temos:
limttoinftyQ(t)=al(1-0r)=a
Portanto, no regime permanente a carga tende a a.

Resposta

a) Q(0)=0. b) t=0. c) limttoinftyQ(t)=a.

Exercícios relacionados