Questão 35: Uma firma fabrica chips de computador. Em um lote de mil chips, uma amostra de dez chips revelou um chip defeituoso. Supondo que no lote houvesse k chips defeituosos;
(a) Calcule a probabilidade de em uma amostra de vinte chips haver exatamente um chip defeituoso
(b) Determine o valor de k que maximize a probabilidade encontrada dem (a).

Passo 1

O enunciado descreve um lote de N=1000 chips, dos quais k são defeituosos, e fazemos uma amostra sem reposição de n=20 chips. Queremos
(a) a probabilidade de exatamente 1 chip defeituoso nessa amostra;
(b) o valor de k que maximiza essa probabilidade.
O conteúdo aqui é a distribuição hipergeométrica, que modela extrações sem reposição de uma população finita.

Passo 2

Para a distribuição hipergeométrica, a probabilidade de obter exatamente x itens “sucesso” (defeituosos) em n retiradas de uma população de tamanho N com K sucessos é
P(X=x)=binomKx,binomN-Kn-xbinomNn
No nosso caso N=1000, K=k, n=20, x=1. Logo
P(X=1) =binomk1,binom1000-k19binom100020

Passo 3

Para encontrar k que maximiza P(X=1), comparamos Pk+1/Pk. Usando
Pk+1Pk =binomk+11,binom1000-(k+1)19 binomk1,binom1000-k19 =k+1k,binom999-k19binom1000-k19 =k+1k,981-k1000-k,
vemos que essa razão é >=1 quando
(k+1)(981-k)>= k(1000-k) Long<=ftrightarrow k<=98120approx49,05
Ou seja, Pk cresce até k=49 e começa a cair a partir de k=50. Portanto o máximo ocorre em k=50.

Resposta

(a) P(X=1) =binomk1,binom1000-k19binom100020
(b) O valor de k que maximiza essa probabilidade é 50.

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