Questão 36: Dois adversários A e B disputam uma série de dez partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empates. Supondo que os resultados das partidas são independentes, qual é a probabilidade de A ganhar a série?

Passo 1

O enunciado diz que dois adversários A e B jogam exatamente dez partidas, sem empates, com probabilidade de A ganhar cada partida igual a 0,6, de forma independente. Queremos a probabilidade de A ganhar a “série”, isto é, obter mais vitórias que B em dez jogos. O conteúdo principal usado será a distribuição binomial.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de partidas vencidas por A em dez partidas. Sendo cada partida um ensaio de Bernoulli com probabilidade de sucesso p=0,6, temos
X sim Bin(n=10,p=0,6)

Passo 3

A vence a série se e somente se obtiver mais vitórias que B. Como são 10 partidas, isso equivale a
X > 5 Long<=ftrightarrow X >= 6

Passo 4

Logo, a probabilidade buscada é
P(X>=6) =sumk=6^10binom10k(0,6)^k(0,4)^10-k

Passo 5

Calculando termo a termo (aproximações com três casas decimais):
;k=6:;binom106(0,6)^6(0,4)^4approx210cdot0,046656cdot0,0256approx0,251
;k=7:;binom107(0,6)^7(0,4)^3approx120cdot0,027994cdot0,064approx0,215
;k=8:;binom108(0,6)^8(0,4)^2approx45cdot0,016796cdot0,16approx0,121
;k=9:;binom109(0,6)^9(0,4)^1approx10cdot0,010078cdot0,4approx0,040
;k=10:;binom1010(0,6)^10(0,4)^0approx1cdot0,006047cdot1approx0,006
Somando:
P(X>=6)approx0,251+0,215+0,121+0,040+0,006=0,633

Resposta

sumk=6^10binom10k(0,6)^k(0,4)^10-kapprox0,633

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