Questão 36 (ENA-PROFMAT-2013). Um número é capicua quando suas leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda são iguais. Por exemplo, 12321 e 8709078 são exemplos de números capicuas. Quantos números capicuas de cinco dígitos e três algarismos distintos existem?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos números capicuas de cinco dígitos têm exatamente três algarismos distintos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Um número capicua de cinco dígitos tem a forma abcba, onde a,b,c são algarismos (cada letra representa um dígito).
  • Como é um número de cinco dígitos, o primeiro algarismo não pode ser zero: a\neq0.
  • A pergunta é: quantos desses números têm exatamente três algarismos distintos? Ou seja, o conjunto de algarismos usados no número deve ter tamanho 3.

Passo 2

Entender o que significa “exatamente três algarismos distintos” no formato abcba.
  • Os algarismos que aparecem no número são exatamente os elementos do conjunto \{a,b,c\}.
  • Para que haja exatamente três algarismos distintos é necessário e suficiente que a, b e c sejam todos diferentes entre si (ou seja, a\neq b, a\neq c e b\neq c).
  • Portanto a contagem reduz-se a contar escolhas ordenadas de (a,b,c) tais que a\in\{1,\dots,9\}, b,c\in\{0,\dots,9\} e a,b,c todos distintos.

Passo 3

Usar a regra do produto (princípio fundamental da contagem) para contar as escolhas de (a,b,c).
  • Regra do produto: se há m maneiras de fazer uma escolha e, para cada uma delas, há n maneiras independentes de fazer outra escolha, então há m\cdot n maneiras de fazer as duas escolhas em sequência. Aqui temos três escolhas em sequência (escolher a, depois b, depois c), portanto multiplicamos o número de opções em cada passo.
  • Escolha de a: como a é o primeiro dígito e não pode ser zero, há 9 opções para a (ou seja, a\in\{1,2,\dots,9\}).
  • Escolha de b: pode ser qualquer dígito de 0 a 9 exceto a, logo há 9 opções para b.
  • Escolha de c: pode ser qualquer dígito de 0 a 9 exceto a e b, logo há 8 opções para c.
  • Pelo produto, o número de tripletas (a,b,c) com as restrições é 9\cdot 9\cdot 8.

Passo 4

Fazer as multiplicações passo a passo para chegar ao total:
9\cdot 9 = 81,
81\cdot 8 = 648.
Portanto, pelo método direto, existem 648 números capicuas de cinco dígitos com exatamente três algarismos distintos.

Passo 5

Verificação por contagem complementar (checar consistência):
  • Total de palíndromos de cinco dígitos (sem restrição sobre número de dígitos distintos): escolher a\in\{1,\dots,9\} (9 opções), b\in\{0,\dots,9\} (10 opções), c\in\{0,\dots,9\} (10 opções). Total 9\cdot10\cdot10=900.
  • Palíndromos com apenas um algarismo distinto (todos os dígitos iguais): isso exige a=b=c com a\in\{1,\dots,9\}, logo 9 números.
  • Palíndromos com exatamente dois algarismos distintos: ocorrem quando exatamente duas entre a,b,c são iguais e a terceira é diferente. Há três padrões mutuamente exclusivos ( a=b\neq c, a=c\neq b, b=c\neq a). Cada padrão dá 9 escolhas para o algarismo que não pode ser zero quando for a, e 9 escolhas para o outro algarismo (pois deve ser diferente de a), resultando 9\cdot9=81 para cada padrão. Somando os três padrões obtemos 3\cdot81=243.
  • Usando complementar: quantidade com exatamente três algarismos distintos =900 - 9 - 243 = 648, que coincide com o resultado direto.

Resposta

648

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