Questão 36 (ENA-PROFMAT-2013). Um número é capicua quando suas leituras da esquerda para a direita e da direita para a esquerda são iguais. Por exemplo, 12321 e 8709078 são exemplos de números capicuas. Quantos números capicuas de cinco dígitos e três algarismos distintos existem?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos números capicuas de cinco dígitos têm exatamente três algarismos distintos. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Um número capicua de cinco dígitos tem a forma
, onde são algarismos (cada letra representa um dígito). - Como é um número de cinco dígitos, o primeiro algarismo não pode ser zero:
. - A pergunta é: quantos desses números têm exatamente três algarismos distintos? Ou seja, o conjunto de algarismos usados no número deve ter tamanho 3.
Passo 2
Entender o que significa “exatamente três algarismos distintos” no formato
.
- Os algarismos que aparecem no número são exatamente os elementos do conjunto
. - Para que haja exatamente três algarismos distintos é necessário e suficiente que
, e sejam todos diferentes entre si (ou seja, , e ). - Portanto a contagem reduz-se a contar escolhas ordenadas de
tais que , e todos distintos.
Passo 3
Usar a regra do produto (princípio fundamental da contagem) para contar as escolhas de
.
- Regra do produto: se há
maneiras de fazer uma escolha e, para cada uma delas, há maneiras independentes de fazer outra escolha, então há maneiras de fazer as duas escolhas em sequência. Aqui temos três escolhas em sequência (escolher , depois , depois ), portanto multiplicamos o número de opções em cada passo. - Escolha de
: como é o primeiro dígito e não pode ser zero, há opções para (ou seja, ). - Escolha de
: pode ser qualquer dígito de a exceto , logo há opções para . - Escolha de
: pode ser qualquer dígito de a exceto e , logo há opções para . - Pelo produto, o número de tripletas
com as restrições é .
Passo 4
Fazer as multiplicações passo a passo para chegar ao total:
Portanto, pelo método direto, existem
números capicuas de cinco dígitos com exatamente três algarismos distintos.
Passo 5
Verificação por contagem complementar (checar consistência):
- Total de palíndromos de cinco dígitos (sem restrição sobre número de dígitos distintos): escolher
(9 opções), (10 opções), (10 opções). Total . - Palíndromos com apenas um algarismo distinto (todos os dígitos iguais): isso exige
com , logo números. - Palíndromos com exatamente dois algarismos distintos: ocorrem quando exatamente duas entre
são iguais e a terceira é diferente. Há três padrões mutuamente exclusivos ( , , ). Cada padrão dá escolhas para o algarismo que não pode ser zero quando for , e escolhas para o outro algarismo (pois deve ser diferente de ), resultando para cada padrão. Somando os três padrões obtemos . - Usando complementar: quantidade com exatamente três algarismos distintos
, que coincide com o resultado direto.