Questão 36 (IBGE/2016)
Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, vencerá aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um vença qualquer rodada é de
e
. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, são respectivamente:
(A)
;
(B)
;
(C)
;
(D)
;
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado descreve um jogo em que se repete uma sequência de rodadas até que um dos dois jogadores ganhe uma delas – esse jogador vence o jogo imediatamente. Em cada rodada a chance de o jogador A ganhar é
, de o jogador B ganhar é
, e se ninguém ganhar a rodada ela se repete. Queremos calcular a probabilidade de vitória de A e de B no jogo.
Passo 2
Toda rodada tem probabilidade de alguém vencer
e probabilidade de não haver vencedor
Como as rodadas são independentes, o número de rodadas até a primeira vitória segue uma distribuição geométrica de parâmetro
.
Passo 3
A probabilidade de A vencer exatamente na
-ésima rodada é
Somando sobre todas as
obtemos
Passo 4
De modo análogo, a probabilidade de B vencer o jogo é