Questão 36 (IBGE/2016)

Em um jogo de azar disputado por dois indivíduos, através de uma sequência de rodadas, vencerá aquele que ganhar, antes do que o outro, uma das rodadas. A chance de que cada um vença qualquer rodada é de 2 / 9 e 1 / 3. Assim a probabilidade de que cada jogador vença o jogo, são respectivamente:
(A) (29) e(13);
(B) (49) e(59);
(C) (25) e(35);
(D) (59) e(49);
(E) (35) e(25).

Passo 1

O enunciado descreve um jogo em que se repete uma sequência de rodadas até que um dos dois jogadores ganhe uma delas – esse jogador vence o jogo imediatamente. Em cada rodada a chance de o jogador A ganhar é p1=29, de o jogador B ganhar é p2=13, e se ninguém ganhar a rodada ela se repete. Queremos calcular a probabilidade de vitória de A e de B no jogo.

Passo 2

Toda rodada tem probabilidade de alguém vencer
ptotal=p1+p2=29+13=59
e probabilidade de não haver vencedor
q=1-ptotal=1-59=49
Como as rodadas são independentes, o número de rodadas até a primeira vitória segue uma distribuição geométrica de parâmetro ptotal.

Passo 3

A probabilidade de A vencer exatamente na k-ésima rodada é
q^k-1,p1
Somando sobre todas as k>=1 obtemos
P(A)=sumk=1^infty q^k-1p1 =p11-q =291-49 =2959 =25

Passo 4

De modo análogo, a probabilidade de B vencer o jogo é
P(B)=p21-q =1359 =35

Resposta

25 e 35

Exercícios relacionados