Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
2 y^prime prime+4 y^prime+10 y=(cos t) de<a(t-2) ; y(0)=4, y^prime(0)=5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear
2y''+4y'+10y = (cos t),de<a(t-2)
com condições iniciais y(0)=4, y'(0)=5, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das seguintes propriedades da tabela de Laplace:
  1. Transformada da derivada de primeira ordem
Ly'(s)=sY(s)-y(0),
  1. Transformada da derivada de segunda ordem
Ly''(s)=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0),
  1. Transformada do produto com delta deslocado
Lf(t),de<a(t-a)(s)=e^-a s,f(a)

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados e substituímos as propriedades de derivada:
2l(s^2Y - s,y(0)-y'(0)r) +4l(sY - y(0)r) +10,Y =Lcos t,de<a(t-2)
Substituindo y(0)=4 e y'(0)=5 no lado esquerdo:
2l(s^2Y -4s -5r) +4l(sY -4r) +10Y =Lcos t,de<a(t-2)
Expandindo:
2s^2Y -8s -10 +4sY -16 +10Y =Lcos t,de<a(t-2)
Agrupando Y:
(2s^2+4s+10),Y -8s -26 =Lcos t,de<a(t-2)

Passo 3

Usamos a propriedade do delta deslocado com f(t)=cos t e a=2:
Lcos t,de<a(t-2)(s) =e^-2s,cos(2)
Então a equação em s fica
(2s^2+4s+10),Y(s)-8s -26 = e^-2s,cos2

Passo 4

Isolamos Y(s):
(2s^2+4s+10),Y(s)=8s+26 + e^-2scos2 Longrightarrow Y(s)=8s+262s^2+4s+10 ;+; e^-2s,cos22s^2+4s+10

Passo 5

Fatoramos o denominador:
2s^2+4s+10 = 2l((s+1)^2+2^2r)
Para a parte não deslocada fazemos
8s+262l((s+1)^2+4r) =4s+13(s+1)^2+4 = 4(s+1)(s+1)^2+4 ;+;9(s+1)^2+4

Passo 6

Agora aplicamos transformada inversa:
  1. L^-1!ltfrac4(s+1)(s+1)^2+2^2r(t) =4,e^-tcos(2t)
  2. L^-1!ltfrac9(s+1)^2+2^2r(t) =tfrac92,e^-tsin(2t)
Para a parte deslocada, usamos a propriedade de descolamento no tempo:
L^-1e^-2sF(s)(t) = u(t-2),f(t-2),
onde f(t)=L^-1F(s)(t).
Aqui
F(s)=cos22l((s+1)^2+4r) =cos22,1(s+1)^2+2^2,
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f(t)=cos22,12,e^-tsin(2t) =cos24,e^-tsin(2t)
Portanto a parte forçada é
u(t-2),cos24,e^-(t-2)sinl(2(t-2)r)

Passo 7

Somando a solução homogênea com a forçada obtemos
y(t) =4,e^-tcos(2t) +92,e^-tsin(2t) +u(t-2),cos24,e^-(t-2)sinl(2(t-2)r)

Resposta

boxed y(t) =4,e^-tcos(2t) +tfrac92,e^-tsin(2t) +u(t-2),tfraccos24,e^-(t-2)sinl(2(t-2)r)

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