Resolva por transformadas de Laplace. Indique sempre a propriedade da tabela de transformadas de Laplace sendo utilizada em cada passo.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear
com condições iniciais
,
, usando transformada de Laplace. Vamos precisar das seguintes propriedades da tabela de Laplace:
- Transformada da derivada de primeira ordem
- Transformada da derivada de segunda ordem
- Transformada do produto com delta deslocado
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados e substituímos as propriedades de derivada:
Substituindo
e
no lado esquerdo:
Expandindo:
Agrupando
:
Passo 3
Usamos a propriedade do delta deslocado com
e
:
Então a equação em
fica
Passo 4
Isolamos
:
Passo 5
Fatoramos o denominador:
Para a parte não deslocada fazemos
Passo 6
Agora aplicamos transformada inversa:
Para a parte deslocada, usamos a propriedade de descolamento no tempo:
onde
.
Aqui
Aqui
logo
Portanto a parte forçada é
Passo 7
Somando a solução homogênea com a forçada obtemos