Questão 38

Quando você balança a ponta de uma corda produzindo uma onda, qual porcentagem da energia que você transfere para a corda se transforma em energia cinética associada com o movimento da corda? Que porcentagem se transforma em energia potencial associada à elongação da corda?
Escolha uma opção:
  1. 100 \% cinética e 0 \% potencial
  2. 25 \% cinética e 25 \% potencial (os outros 50 \% se propagam com a onda e não dizem respeito á corda ou às suas moléculas e átomos).
  3. A energia cinética não é da corda, uma vez que seus pedaços não se propagam, mas sim da onda.
  4. 50 \% cinética e 50 \% potencial.
  5. É impossível dizer.

Passo 1

O enunciado fala de uma onda transversal numa corda tensionada, e pede a porcentagem da energia que vai para energia cinética (movimento transversal da corda) e para energia potencial (devida à pequena elongação da corda). O conteúdo aqui é a energia de uma onda numa corda e o fato de que, em média, energia cinética e potencial são iguais.

Passo 2

Para uma pequena porção da corda de comprimento dx, a energia cinética instantânea é
dK = \tfrac12\,\mu\,dx\;\Bigl(\frac{\partial y}{\partial t}\Bigr)^{2},
onde \mu é a massa por comprimento e y(x,t) é o deslocamento vertical.

Passo 3

A energia potencial instantânea (devida à tensão T) nessa mesma porção é
dU = \tfrac12\,T\,dx\;\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)^{2}.

Passo 4

Para uma onda harmônica viajante y(x,t)=A\sin(kx-\omega t), calcula-se \langle dK\rangle_{t} = \tfrac14\,\mu\,A^{2}\omega^{2}\,dx e \langle dU\rangle_{t} = \tfrac14\,T\,A^{2}k^{2}\,dx.
Como T=\mu\,v^{2} e v=\omega/k, tem-se T\,k^{2}=\mu\,\omega^{2}, logo \langle dU\rangle_{t}=\langle dK\rangle_{t}.

Passo 5

Isso mostra que, em média ao longo de um ciclo, a energia total se divide igualmente: metade em energia cinética e metade em potencial.

Resposta

  1. 50\% cinética e 50\% potencial.

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