Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, verificou-se que os pontos \mathrm{A}(\mathrm{a}, 1, \mathrm{a}), \mathrm{B}(2 \mathrm{a}, 1, \mathrm{a}), \mathrm{C}(\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{a}) distintos são colineares. Além disso o sistema: \left\{\begin{array}{c}a x+b y=0 \\\ b x+y+z=0 \\\ b x+a y+b z=0\end{array}\right.
possui solução não trivial. Logo:
(A) a e b são números primos.
(B) a e b são inteiros consecutivos.
(C) a não é divisor de b.
(D) 0<a<1 / 2 e 0<b<1
(E) a e b são simétricos.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Três pontos distintos são colineares:
A(a,1,a)
B(2a,1,a)
C(b,a,a)
O sistema linear\begin{cases} a x + b y = 0\\[4pt] b x + y + z = 0\\[4pt] b x + a y + b z = 0 \end{cases}possui solução não trivial.
Precisa-se escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D), (E).]
Passo 2
Entender o que significa “os pontos são colineares” e extrair informação sobre a e b.
Calcule os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2a-a,\;1-1,\;a-a) = (a,\,0,\,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (b-a,\;a-1,\;a-a) = (b-a,\,a-1,\,0).
Do fato de os três pontos serem colineares segue que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são colineares (um é múltiplo escalar do outro). Observe que \overrightarrow{AB}=(a,0,0) tem componentes nos eixos y e z iguais a zero. Para \overrightarrow{AC} ser múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}, suas componentes em y e z também devem ser nulas. A componente em z de \overrightarrow{AC} já é 0. A componente em y de \overrightarrow{AC} é a-1; portanto: