Questão 38

Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, verificou-se que os pontos \mathrm{A}(\mathrm{a}, 1, \mathrm{a}), \mathrm{B}(2 \mathrm{a}, 1, \mathrm{a}), \mathrm{C}(\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{a}) distintos são colineares. Além disso o sistema: \left\{\begin{array}{c}a x+b y=0 \\\ b x+y+z=0 \\\ b x+a y+b z=0\end{array}\right.
possui solução não trivial. Logo:
(A) a e b são números primos.
(B) a e b são inteiros consecutivos.
(C) a não é divisor de b.
(D) 0<a<1 / 2 e 0<b<1
(E) a e b são simétricos.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Três pontos distintos são colineares:
    • A(a,1,a)
    • B(2a,1,a)
    • C(b,a,a)
  • O sistema linear \begin{cases} a x + b y = 0\\[4pt] b x + y + z = 0\\[4pt] b x + a y + b z = 0 \end{cases}possui solução não trivial.
  • Precisa-se escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C), (D), (E).]

Passo 2

Entender o que significa “os pontos são colineares” e extrair informação sobre a e b.
Calcule os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AB} = B - A = (2a-a,\;1-1,\;a-a) = (a,\,0,\,0),
\overrightarrow{AC} = C - A = (b-a,\;a-1,\;a-a) = (b-a,\,a-1,\,0).
Do fato de os três pontos serem colineares segue que \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} são colineares (um é múltiplo escalar do outro). Observe que \overrightarrow{AB}=(a,0,0) tem componentes nos eixos y e z iguais a zero. Para \overrightarrow{AC} ser múltiplo escalar de \overrightarrow{AB}, suas componentes em y e z também devem ser nulas. A componente em z de \overrightarrow{AC} já é 0. A componente em y de \overrightarrow{AC} é a-1; portanto:
a-1=0 \quad\Rightarrow\quad a=1.
Verificação de consistência: com a=1,
\overrightarrow{AB}=(1,0,0),\qquad \overrightarrow{AC}=(b-1,0,0),
que são colineares para qualquer b. Como os pontos são distintos, não podemos ter b=1 (caso contrário C coincidiria com A). Logo, até aqui temos
a=1,\qquad b\neq 1.

Passo 3

Usar a condição “o sistema possui solução não trivial”. Isso acontece quando a matriz dos coeficientes é singular, isto é, seu determinante é zero.
A matriz dos coeficientes é
M=\begin{pmatrix} a & b & 0\\[4pt] b & 1 & 1\\[4pt] b & a & b \end{pmatrix}.
O determinante \det(M) pode ser calculado por expansão na primeira linha:
\det(M)=a\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] a & b\end{pmatrix} - b\det\begin{pmatrix}b & 1\\[4pt] b & b\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Calcule os menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt] a & b\end{pmatrix}=1\cdot b - 1\cdot a = b-a,
\det\begin{pmatrix}b & 1\\[4pt] b & b\end{pmatrix}=b\cdot b - 1\cdot b = b^2 - b.
Portanto
\det(M)=a(b-a) - b(b^2-b) = a(b-a) - (b^3 - b^2).
Como o sistema tem solução não trivial, \det(M)=0. Substituindo a=1 (do Passo 2) obtemos
0=\det(M)=1\cdot(b-1) - (b^3 - b^2)=b-1 - b^3 + b^2.
Reescrevendo:
0 = -b^3 + b^2 + b - 1 = -(b^3 - b^2 - b + 1).
Fatore o polinômio b^3 - b^2 - b + 1 por agrupamento:
b^3 - b^2 - b + 1 = (b^3 - b^2) - (b - 1) = b^2(b-1) - (b-1) = (b-1)(b^2-1).
E mais:
(b-1)(b^2-1) = (b-1)(b-1)(b+1) = (b-1)^2(b+1).
Logo a equação \det(M)=0 vira
-(b-1)^2(b+1)=0 \quad\Rightarrow\quad (b-1)^2(b+1)=0.
As raízes são b=1 (multiplicidade 2) ou b=-1. Mas do Passo 2 sabemos que b\neq 1 (senão os pontos não seriam distintos). Portanto
b=-1.]

Passo 4

Concluímos que os valores compatíveis com as condições do enunciado são
a=1,\qquad b=-1.
Agora verifiquemos as alternativas:
  • (A) “ a e b são números primos.” Falso: a=1 não é primo.
  • (B) “ a e b são inteiros consecutivos.” Falso: 1 e -1 não são consecutivos.
  • (C) “ a não é divisor de b.” Falso: 1 divide -1 (então a é divisor de b).
  • (D) “ 0<a<1/2 e 0<b<1.” Falso: a=1 não satisfaz 0<a<1/2.
  • (E) “ a e b são simétricos.” Interpretando “simétricos” como opostos (simétricos em relação à origem), temos b=-a. Com a=1 e b=-1 isso é verdade.
Portanto a única alternativa verdadeira é a (E).

Resposta

(E)

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