Questão 35

Considere um quartel com 7 postos de vigia numerados de 1 a 7. Dispõe-se de 8 soldados para guarnecer o quartel, com a seguintes restrições.
I- Os soldados A, B e C só podem ocupar postos de vigia de número par;
II- Os soldados E e F só podem ocupar postos de vigia de número ímpar;
III- O soldado G tem que estar sempre guarnecendo o quartel.
O número de guarnições distintas que podem ser obtidas é:
(A) 432 .
(B) 576 .
(C) 864 .
(D) 1872.
(E) 1440 .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado deu e o que pede.
  • Dados do problema:
    • 7 postos de vigia numerados 1 a 7.
    • 8 soldados identificados (pelas letras dadas no enunciado): A,B,C,D,E,F,G,H (a letra H é a oitava, implícita).
    • Restrição I: os soldados A,B,C só podem ocupar postos de número par.
    • Restrição II: os soldados E,F só podem ocupar postos de número ímpar.
    • Restrição III: o soldado G tem que estar sempre guarnecendo o quartel (ou seja, G obrigatoriamente ocupa um dos 7 postos).
    • Postos pares disponíveis: 2,4,6 (total 3).
    • Postos ímpares disponíveis: 1,3,5,7 (total 4).
  • O que o enunciado pede:
    • Contar o número de guarnições distintas possíveis, isto é, o número de maneiras de distribuir 7 dos 8 soldados nos 7 postos, obedecendo às 3 restrições.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): como G é obrigatório, exatamente um dos outros 7 soldados será excluído. Então há 7 escolhas possíveis de qual soldado fica de fora. Para cada escolha de excluído devemos contar as atribuições válidas dos 7 soldados restantes aos 7 postos, respeitando as restrições. Usaremos a Regra do Produto (princípio multiplicativo): se uma escolha pode ser feita em a maneiras e depois outra em b maneiras, então as duas em sequência podem ser feitas em a\cdot b maneiras. Também usaremos as permutações e fatoriais: n! significa o número de ordenações de n objetos distintos; para escolher e ordenar k lugares dentre n disponíveis usamos P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1).
Vou tratar por casos segundo qual soldado é excluído, agrupando os casos simétricos para não repetir cálculos desnecessários.

Passo 3

Caso A: o soldado excluído é um dos soldados sem restrição (ou seja, excluir D ou excluir H).
  • Se excluímos D, os presentes são A,B,C,E,F,G,H (todos os três A,B,C estão presentes).
  • Como A,B,C só podem ir em postos pares e existem exatamente 3 postos pares (2,4,6), esses três devem ocupar esses três lugares em alguma ordem: isso dá 3! maneiras para os pares.
  • Os 4 postos ímpares (1,3,5,7) serão ocupados pelos 4 soldados restantes E,F,G,H. Observe que E e F podem ir apenas em ímpar e aqui há 4 ímpares, então não há conflito: os 4 soldados restantes podem ser distribuídos nos 4 ímpares em 4! maneiras.
  • Pelo princípio multiplicativo, para a escolha “excluir D” há 3!\times4! maneiras.
Calculemos com símbolos: o número de guarnições nesse subcaso é 3!\times4!.
  • Como excluir H é simétrico (mesma configuração de restrições), o caso “excluir H” tem também 3!\times4! maneiras.

Passo 4

Caso B: o soldado excluído é um dos dois com restrição de impar (excluir E ou excluir F).
  • Exemplo: excluir E. Os presentes são A,B,C,D,F,G,H.
  • Novamente A,B,C estão todos presentes, logo ocupam os 3 postos pares (2,4,6) em 3! maneiras.
  • Os 4 postos ímpares serão ocupados por F,D,G,H. F é obrigado a ser ímpar e isso é satisfeito. Então esses 4 soldados podem ser arranjados nos 4 ímpares em 4! maneiras.
  • Logo, para “excluir E” há 3!\times4! maneiras. Pelo mesmo raciocínio, “excluir F” também dá 3!\times4! maneiras.

Passo 5

Caso C: o soldado excluído é um dos A,B,C (ou seja, excluímos exatamente um dos três que só podem ir em pares). Há 3 possibilidades de escolha do excluído aqui (excluir A ou B ou C), e os três subcasos são simétricos; conto um deles e multiplico por 3.
  • Exemplo: excluir A. Os presentes são B,C,D,E,F,G,H.
  • Agora apenas B e C (do par A,B,C) estão presentes, portanto dois soldados obrigados a irem em postos pares precisam ocupar 2 dos 3 postos pares disponíveis.
  • Primeiro escolha e ordem das posições pares para B e C: isso é P(3,2)=3\cdot2=6 maneiras (equivalente a escolher 2 dos 3 lugares e permutar os dois soldados).
  • Sobram 5 postos para os outros 5 soldados \{D,E,F,G,H\}: desses 5 postos, 1 é par (o par restante) e 4 são ímpares. Os E e F têm de ficar em postos ímpares, então devemos colocar E e F em dois dos 4 postos ímpares e ordenar esses dois entre si. O número de maneiras para colocar E e F nos ímpares é P(4,2)=4\cdot3=12.
  • Após colocar B,C,E,F, restam 3 soldados \{D,G,H\} e 3 postos livres (o par restante + as 2 ímpares que sobraram). Esses 3 soldados não têm restrição, então podem ser arranjados nesses 3 lugares em 3! maneiras.
  • Pelo princípio multiplicativo, para “excluir A” obtemos P(3,2)\times P(4,2)\times 3! = 6\times 12\times 6 maneiras.
  • Simplificando: isso dá 6\times12\times6 maneiras para cada exclusão de um dos A,B,C.
  • Como há 3 escolhas possíveis de qual entre A,B,C excluir, multiplicamos por 3 no final para os três subcasos.

Passo 6

Agora vamos transformar as expressões em números (faça mentalmente ou no papel; aqui mostro cada produto em forma simbólica, sem repetir a resposta final ainda).
  • Para os casos “excluir D” e “excluir H” cada um dá 3!\times4!.
  • Para os casos “excluir E” e “excluir F” cada um dá 3!\times4!.
  • Para cada caso “excluir um dos A,B,C” dá P(3,2)\times P(4,2)\times 3!.
Convertendo:
  • 3! = 6.
  • 4! = 24.
  • P(3,2)=6.
  • P(4,2)=12.
  • 3! = 6 (novamente).
Assim:
  • Cada caso do tipo “excluir D ou H” dá 6\times24.
  • Cada caso do tipo “excluir E ou F” dá 6\times24.
  • Cada caso do tipo “excluir um dos A,B,C” dá 6\times12\times6.

Passo 7

Agora escrevo a soma dos números dos casos (aqui apresento a soma em forma de expressão; a resposta final está apenas na seção de resposta como pedido):
  • Casos “excluir D” e “excluir H”: dois casos de 3!\times4! cada, total 2\times(3!\times4!).
  • Casos “excluir E” e “excluir F”: dois casos de 3!\times4! cada, total 2\times(3!\times4!).
  • Casos “excluir um dos A,B,C”: três casos de P(3,2)\times P(4,2)\times3! cada, total 3\times\big(P(3,2)\times P(4,2)\times3!\big).
Somando todos:
2\cdot(3!\times4!) \;+\; 2\cdot(3!\times4!) \;+\; 3\cdot\big(P(3,2)\times P(4,2)\times3!\big)
ou, substituindo os valores:
2\cdot(6\times24) \;+\; 2\cdot(6\times24) \;+\; 3\cdot(6\times12\times6).

Resposta

1872

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