Questão 35
Considere um quartel com 7 postos de vigia numerados de 1 a 7. Dispõe-se de 8 soldados para guarnecer o quartel, com a seguintes restrições.
I- Os soldados A, B e C só podem ocupar postos de vigia de número par;
II- Os soldados E e F só podem ocupar postos de vigia de número ímpar;
III- O soldado G tem que estar sempre guarnecendo o quartel.
O número de guarnições distintas que podem ser obtidas é:
(A) 432 .
(B) 576 .
(C) 864 .
(D) 1872.
(E) 1440 .
II- Os soldados E e F só podem ocupar postos de vigia de número ímpar;
III- O soldado G tem que estar sempre guarnecendo o quartel.
(A) 432 .
(B) 576 .
(C) 864 .
(D) 1872.
(E) 1440 .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado deu e o que pede.
-
Dados do problema:
- Há
postos de vigia numerados a . - Há
soldados identificados (pelas letras dadas no enunciado): (a letra é a oitava, implícita). - Restrição I: os soldados
só podem ocupar postos de número par. - Restrição II: os soldados
só podem ocupar postos de número ímpar. - Restrição III: o soldado
tem que estar sempre guarnecendo o quartel (ou seja, obrigatoriamente ocupa um dos postos). - Postos pares disponíveis:
(total ). - Postos ímpares disponíveis:
(total ).
- Há
-
O que o enunciado pede:
- Contar o número de guarnições distintas possíveis, isto é, o número de maneiras de distribuir
dos soldados nos postos, obedecendo às 3 restrições.
- Contar o número de guarnições distintas possíveis, isto é, o número de maneiras de distribuir
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): como
é obrigatório, exatamente um dos outros
soldados será excluído. Então há
escolhas possíveis de qual soldado fica de fora. Para cada escolha de excluído devemos contar as atribuições válidas dos
soldados restantes aos
postos, respeitando as restrições. Usaremos a Regra do Produto (princípio multiplicativo): se uma escolha pode ser feita em
maneiras e depois outra em
maneiras, então as duas em sequência podem ser feitas em
maneiras. Também usaremos as permutações e fatoriais:
significa o número de ordenações de
objetos distintos; para escolher e ordenar
lugares dentre
disponíveis usamos
.
Vou tratar por casos segundo qual soldado é excluído, agrupando os casos simétricos para não repetir cálculos desnecessários.
Passo 3
Caso A: o soldado excluído é um dos soldados sem restrição (ou seja, excluir
ou excluir
).
- Se excluímos
, os presentes são (todos os três estão presentes). - Como
só podem ir em postos pares e existem exatamente postos pares , esses três devem ocupar esses três lugares em alguma ordem: isso dá maneiras para os pares. - Os
postos ímpares serão ocupados pelos soldados restantes . Observe que e podem ir apenas em ímpar e aqui há ímpares, então não há conflito: os soldados restantes podem ser distribuídos nos ímpares em maneiras. - Pelo princípio multiplicativo, para a escolha “excluir
” há maneiras.
Calculemos com símbolos: o número de guarnições nesse subcaso é
.
- Como excluir
é simétrico (mesma configuração de restrições), o caso “excluir ” tem também maneiras.
Passo 4
Caso B: o soldado excluído é um dos dois com restrição de impar (excluir
ou excluir
).
- Exemplo: excluir
. Os presentes são . - Novamente
estão todos presentes, logo ocupam os postos pares em maneiras. - Os
postos ímpares serão ocupados por . é obrigado a ser ímpar e isso é satisfeito. Então esses soldados podem ser arranjados nos ímpares em maneiras. - Logo, para “excluir
” há maneiras. Pelo mesmo raciocínio, “excluir ” também dá maneiras.
Passo 5
Caso C: o soldado excluído é um dos
(ou seja, excluímos exatamente um dos três que só podem ir em pares). Há
possibilidades de escolha do excluído aqui (excluir
ou
ou
), e os três subcasos são simétricos; conto um deles e multiplico por
.
-
Exemplo: excluir
. Os presentes são . -
Agora apenas
e (do par ) estão presentes, portanto dois soldados obrigados a irem em postos pares precisam ocupar dos postos pares disponíveis. -
Primeiro escolha e ordem das posições pares para
e : isso é maneiras (equivalente a escolher dos lugares e permutar os dois soldados). -
Sobram
postos para os outros soldados : desses postos, é par (o par restante) e são ímpares. Os e têm de ficar em postos ímpares, então devemos colocar e em dois dos postos ímpares e ordenar esses dois entre si. O número de maneiras para colocar e nos ímpares é . -
Após colocar
, restam soldados e postos livres (o par restante + as ímpares que sobraram). Esses soldados não têm restrição, então podem ser arranjados nesses lugares em maneiras. -
Pelo princípio multiplicativo, para “excluir
” obtemos maneiras. -
Simplificando: isso dá
maneiras para cada exclusão de um dos . -
Como há
escolhas possíveis de qual entre excluir, multiplicamos por no final para os três subcasos.
Passo 6
Agora vamos transformar as expressões em números (faça mentalmente ou no papel; aqui mostro cada produto em forma simbólica, sem repetir a resposta final ainda).
- Para os casos “excluir
” e “excluir ” cada um dá . - Para os casos “excluir
” e “excluir ” cada um dá . - Para cada caso “excluir um dos
” dá .
Convertendo:
-
. -
. -
. -
. -
(novamente).
Assim:
- Cada caso do tipo “excluir
ou ” dá . - Cada caso do tipo “excluir
ou ” dá . - Cada caso do tipo “excluir um dos
” dá .
Passo 7
Agora escrevo a soma dos números dos casos (aqui apresento a soma em forma de expressão; a resposta final está apenas na seção de resposta como pedido):
- Casos “excluir
” e “excluir ”: dois casos de cada, total . - Casos “excluir
” e “excluir ”: dois casos de cada, total . - Casos “excluir um dos
”: três casos de cada, total .
Somando todos:
ou, substituindo os valores: