Questão 39
Se
e
são as raízes da equação:
, então
vale:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado fornece a equação
com
e
. Diz que
e
são as raízes dessa equação e pede o valor de
.
Informações relevantes fornecidas:
-
e (logo ). - As incógnitas
que aparecem como base de log exigem e e ainda que e para que os logaritmos estejam bem definidos. - Objetivo: encontrar as duas raízes
e calcular .
Passo 2
Vamos transformar os logaritmos para uma forma mais direta usando a fórmula de mudança de base. Lembrete: a fórmula de mudança de base diz que, para quaisquer
,
e
,
onde
é o logaritmo natural. Aqui usaremos essa fórmula para cada termo da equação.
Aplicando a mudança de base a cada termo:
Passo 3
Substituindo essas expressões na equação original obtemos
Como foi dado
e
, temos
. Podemos dividir ambos os lados da equação por
(isso não altera as raízes) e obter:
Passo 4
Para simplificar a escrita, faça a substituição
Assim a equação vira
Agora vamos transformar esta soma de frações numa equação polinomial multiplicando pelo denominador comum
(observe que isso é válido pois estamos considerando os
que não anulam nenhum denominador — isto corresponde às condições de domínio mencionadas no Passo 1).
Multiplicando, obtemos
Passo 5
Desenvolvendo cada termo com calma (aqui mostro as contas passo a passo):
Somando os três resultados:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Temos a equação quadrática em
:
Vamos fatorar. Procure dois números cujo produto seja
e soma
; esses números são
e
. Assim a quadrática fatoriza como
Portanto as soluções para
são
Passo 7
Voltando às variáveis originais:
e
. Assim as raízes
são
e
Logo as duas raízes são
e
(a ordem não importa).
Passo 8
Calculamos o produto das raízes:
Some os expoentes usando denominador comum
:
Portanto
Passo 9
Agora elevamos o produto à sexta potência:
Isso dá a resposta final.
Resposta
(B)