Questão 39

Se \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2} são as raízes da equação: \log _{b x} b+2 \log _{x} b+ 3 \log _{b^{2} x} b=0, b \in R_{+}^{*}, b \neq 1, então \left(x_{1} \cdot x_{2}\right)^{6} vale:
(A) b^{11}
(B) b^{-11}
(C) b^{6}
(D) b^{-6}
(E) b^{-5}

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\log_{b x} b + 2\log_{x} b + 3\log_{b^{2} x} b = 0,
com b\in\mathbb{R}_{+}^{*} e b\neq 1. Diz que \mathrm{x}_{1} e \mathrm{x}_{2} são as raízes dessa equação e pede o valor de \left(x_{1}\cdot x_{2}\right)^{6}.
Informações relevantes fornecidas:
  • b>0 e b\neq1 (logo \ln b\neq0).
  • As incógnitas \mathrm{x} que aparecem como base de log exigem x>0 e x\neq1 e ainda que b x\neq1 e b^{2}x\neq1 para que os logaritmos estejam bem definidos.
  • Objetivo: encontrar as duas raízes x_{1},x_{2} e calcular \left(x_{1}x_{2}\right)^{6}.

Passo 2

Vamos transformar os logaritmos para uma forma mais direta usando a fórmula de mudança de base. Lembrete: a fórmula de mudança de base diz que, para quaisquer A>0, C>0 e A\neq1,
\log_{A} C = \frac{\ln C}{\ln A},
onde \ln é o logaritmo natural. Aqui usaremos essa fórmula para cada termo da equação.
Aplicando a mudança de base a cada termo:
\log_{b x} b = \frac{\ln b}{\ln(bx)}=\frac{\ln b}{\ln b+\ln x},
\log_{x} b = \frac{\ln b}{\ln x},
\log_{b^{2} x} b = \frac{\ln b}{\ln(b^{2}x)}=\frac{\ln b}{2\ln b+\ln x}.

Passo 3

Substituindo essas expressões na equação original obtemos
\frac{\ln b}{\ln b+\ln x}+2\cdot\frac{\ln b}{\ln x}+3\cdot\frac{\ln b}{2\ln b+\ln x}=0.
Como foi dado b\neq1 e b>0, temos \ln b\neq0. Podemos dividir ambos os lados da equação por \ln b (isso não altera as raízes) e obter:
\frac{1}{\ln b+\ln x}+\frac{2}{\ln x}+\frac{3}{2\ln b+\ln x}=0.

Passo 4

Para simplificar a escrita, faça a substituição
u=\ln b\quad\text{e}\quad t=\ln x.
Assim a equação vira
\frac{1}{u+t}+\frac{2}{t}+\frac{3}{2u+t}=0.
Agora vamos transformar esta soma de frações numa equação polinomial multiplicando pelo denominador comum t(u+t)(2u+t) (observe que isso é válido pois estamos considerando os t que não anulam nenhum denominador — isto corresponde às condições de domínio mencionadas no Passo 1).
Multiplicando, obtemos
t(2u+t)+2(u+t)(2u+t)+3t(u+t)=0.

Passo 5

Desenvolvendo cada termo com calma (aqui mostro as contas passo a passo):
t(2u+t) = 2ut+t^{2},
(u+t)(2u+t) = 2u^{2}+3ut+t^{2}\quad\Rightarrow\quad 2(u+t)(2u+t)=4u^{2}+6ut+2t^{2},
3t(u+t)=3ut+3t^{2}.
Somando os três resultados:
(2ut+t^{2})+(4u^{2}+6ut+2t^{2})+(3ut+3t^{2})=0.
Agrupando termos semelhantes:
4u^{2} + (2ut+6ut+3ut) + (t^{2}+2t^{2}+3t^{2}) = 4u^{2} + 11ut + 6t^{2} = 0.

Passo 6

Temos a equação quadrática em t:
6t^{2}+11ut+4u^{2}=0.
Vamos fatorar. Procure dois números cujo produto seja 6\cdot4=24 e soma 11; esses números são 3 e 8. Assim a quadrática fatoriza como
(3t+4u)(2t+u)=0.
Portanto as soluções para t são
t=-\frac{4u}{3}\quad\text{ou}\quad t=-\frac{u}{2}.

Passo 7

Voltando às variáveis originais: t=\ln x e u=\ln b. Assim as raízes x são
\ln x = -\frac{4}{3}\ln b \quad\Rightarrow\quad x = e^{\ln x}=e^{-\frac{4}{3}\ln b}=b^{-\frac{4}{3}},
e
\ln x = -\frac{1}{2}\ln b \quad\Rightarrow\quad x = b^{-\frac{1}{2}}.
Logo as duas raízes são x_{1}=b^{-4/3} e x_{2}=b^{-1/2} (a ordem não importa).

Passo 8

Calculamos o produto das raízes:
x_{1}x_{2}=b^{-4/3}\cdot b^{-1/2}=b^{-\frac{4}{3}-\frac{1}{2}}.
Some os expoentes usando denominador comum 6:
-\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{8}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{11}{6}.
Portanto
x_{1}x_{2}=b^{-11/6}.

Passo 9

Agora elevamos o produto à sexta potência:
\left(x_{1}x_{2}\right)^{6}=\left(b^{-11/6}\right)^{6}=b^{-11}.
Isso dá a resposta final.

Resposta

(B) b^{-11}

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