Questão 39

Considere duas ondas, Xe Y , que se movem no mesmo meio. Ambas carregam a mesma quantidade de energia por unidade de tempo, mas X tem metade da amplitude de Y. Qual delas tem o maior comprimento de onda?
  1. Ambas tem o mesmo comprimento de onda
  2. A onda Y
  3. A onda X
  4. Não é possível determinar

Passo 1

O enunciado diz que duas ondas X e Y se propagam no mesmo meio, têm a mesma potência média P, mas a amplitude de X é a metade da de Y. Pergunta-se qual tem maior comprimento de onda. Para resolver, vamos usar a expressão da potência transportada por uma onda numa corda ou num meio linear e a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda.

Passo 2

A potência média transportada por uma onda harmônica num meio linear de densidade \mu e velocidade v é
P = \frac{1}{2}\,\mu\,\omega^2\,A^2\,v,
onde \omega é a frequência angular e A a amplitude.

Passo 3

Como as duas ondas têm a mesma potência e se propagam no mesmo meio, \mu e v são iguais para ambas e cancelam ao igualarmos P_X=P_Y. Logo
\omega_X^2\,A_X^2 \;=\;\omega_Y^2\,A_Y^2.

Passo 4

Sabemos que A_X = \tfrac12\,A_Y. Substituindo na igualdade de potências:
\omega_X^2\bigl(\tfrac12\,A_Y\bigr)^2 \;=\;\omega_Y^2\,A_Y^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_X^2\,\frac{A_Y^2}{4} = \omega_Y^2\,A_Y^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_X^2 = 4\,\omega_Y^2 \quad\Longrightarrow\quad \omega_X = 2\,\omega_Y.

Passo 5

A frequência f e a frequência angular \omega satisfazem \omega=2\pi f, logo
f_X = 2\,f_Y.

Passo 6

Como o meio é o mesmo, a velocidade de propagação v é igual para X e Y. E temos
\lambda = \frac{v}{f}.
Portanto
\lambda_X = \frac{v}{f_X} = \frac{v}{2\,f_Y} = \tfrac12\,\frac{v}{f_Y} = \tfrac12\,\lambda_Y \quad\Longrightarrow\quad \lambda_Y = 2\,\lambda_X.
Isto mostra que a onda Y tem o maior comprimento de onda.

Resposta

A onda Y. (Alternativa 2)

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