Questão 37 (ENA-PROFMAT-2012). Quantos são os divisores positivos de 10 ! ?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos são os divisores positivos de
?”\n
Informações relevantes fornecidas (ou óbvias):\n
Informações relevantes fornecidas (ou óbvias):\n
- A expressão cujo número de divisores queremos é
, isto é o fatorial de : \n - Para contar divisores positivos de um número é muito útil ter a fatoração prima desse número (potências de primos). Não há outras informações ocultas.
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):\n
- Primeiro vamos fatorar
em primos, ou seja escrever como produto , onde cada é um primo e é o expoente correspondente.\n - Para encontrar o expoente
de um primo em usaremos a fórmula de Legendre: ela diz que o expoente de em é
ou seja, somamos
até que os termos sejam zero. Vou explicar por que isso funciona enquanto uso.\n
- Depois, sabendo que
, o número de divisores positivos é dado por
Explicarei por que essa fórmula vale (contagem de expoentes possíveis) antes de aplicar.
Passo 3
Explicação da fórmula de Legendre (por que funciona), de forma simples e concreta:\n
- Na multiplicação
, cada múltiplo de contribui com pelo menos um fator . O número de múltiplos de até é .\n - Mas múltiplos de
contam com um segundo fator extra (por exemplo tem dois 's), então somamos .\n - Continuando, múltiplos de
dão mais um, e assim por diante. Somando todos os pisos obtemos o total de fatores em .\n
Agora aplicamos isso compara cada primo que aparece em .
Passo 4
Cálculo do expoente de
em
(detalhado):\n
Usando Legendre com e
:
Usando Legendre com
Calculando termo a termo:
Somando os termos não-nulos:
Passo 5
Cálculo do expoente de
em
:\n
Usando Legendre com :
Usando Legendre com
Calculando:
Somando:
Passo 6
Cálculo do expoente de
em
:\n
Com :
Com
Calculando:
Logo
Passo 7
Cálculo do expoente de
em
e conclusão da fatoração prima:\n
Com :
Com
logo
.\n
Primos maiores que e menores ou iguais a
já foram considerados (os primos até
são
). Assim a fatoração completa de
é
Primos maiores que
Passo 8
Explicação da fórmula para contar divisores (por que
):\n
- Se um número
tem fatoração , qualquer divisor positivo de também se escreve como , onde cada expoente é um inteiro tal que .\n - Para cada primo
temos possibilidades para (valores ). Como as escolhas para diferentes primos são independentes, o número total de divisores é o produto .\n - Exemplo rápido: se
, então e . Possíveis expoentes para são (3 opções) e para são (2 opções), total divisores.
Passo 9
Aplicando a fórmula ao nosso caso e fazendo as contas passo a passo:\n
Temos , então o número de divisores positivos é
Temos
Calculemos em etapas:
Multiplicando: