Questão 37 (ENA-PROFMAT-2012). Quantos são os divisores positivos de 10 ! ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos são os divisores positivos de 10! ?”\n
Informações relevantes fornecidas (ou óbvias):\n
  • A expressão cujo número de divisores queremos é 10!, isto é o fatorial de 10: \,10! = 1\cdot 2\cdot 3\cdots 10.\n
  • Para contar divisores positivos de um número é muito útil ter a fatoração prima desse número (potências de primos). Não há outras informações ocultas.

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):\n
  • Primeiro vamos fatorar 10! em primos, ou seja escrever 10! como produto \displaystyle\prod p_i^{a_i}, onde cada p_i é um primo e a_i é o expoente correspondente.\n
  • Para encontrar o expoente a_p de um primo p em 10! usaremos a fórmula de Legendre: ela diz que o expoente de p em n! é
a_p=\sum_{k\ge 1}\left\lfloor\frac{n}{p^k}\right\rfloor,
ou seja, somamos \left\lfloor n/p\right\rfloor+\left\lfloor n/p^2\right\rfloor+\left\lfloor n/p^3\right\rfloor+\cdots até que os termos sejam zero. Vou explicar por que isso funciona enquanto uso.\n
  • Depois, sabendo que 10! = \prod p_i^{a_i}, o número de divisores positivos é dado por
\prod_i (a_i+1).
Explicarei por que essa fórmula vale (contagem de expoentes possíveis) antes de aplicar.

Passo 3

Explicação da fórmula de Legendre (por que funciona), de forma simples e concreta:\n
  • Na multiplicação 1\cdot2\cdot3\cdots n, cada múltiplo de p contribui com pelo menos um fator p. O número de múltiplos de p até n é \left\lfloor n/p\right\rfloor.\n
  • Mas múltiplos de p^2 contam com um segundo fator p extra (por exemplo p^2 tem dois p's), então somamos \left\lfloor n/p^2\right\rfloor.\n
  • Continuando, múltiplos de p^3 dão mais um, e assim por diante. Somando todos os pisos obtemos o total de fatores p em n!.\n
    Agora aplicamos isso com n=10 para cada primo que aparece em 10!.

Passo 4

Cálculo do expoente de 2 em 10! (detalhado):\n
Usando Legendre com p=2 e n=10:
a_2=\left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{2^2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{2^3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{2^4}\right\rfloor+\cdots
Calculando termo a termo:
\left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor=5,\qquad \left\lfloor\frac{10}{4}\right\rfloor=2,\qquad \left\lfloor\frac{10}{8}\right\rfloor=1,\qquad \left\lfloor\frac{10}{16}\right\rfloor=0.
Somando os termos não-nulos:
a_2=5+2+1=8.

Passo 5

Cálculo do expoente de 3 em 10!:\n
Usando Legendre com p=3:
a_3=\left\lfloor\frac{10}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{9}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{27}\right\rfloor+\cdots
Calculando:
\left\lfloor\frac{10}{3}\right\rfloor=3,\qquad \left\lfloor\frac{10}{9}\right\rfloor=1,\qquad \left\lfloor\frac{10}{27}\right\rfloor=0.
Somando:
a_3=3+1=4.

Passo 6

Cálculo do expoente de 5 em 10!:\n
Com p=5:
a_5=\left\lfloor\frac{10}{5}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{25}\right\rfloor+\cdots
Calculando:
\left\lfloor\frac{10}{5}\right\rfloor=2,\qquad \left\lfloor\frac{10}{25}\right\rfloor=0.
Logo
a_5=2.

Passo 7

Cálculo do expoente de 7 em 10! e conclusão da fatoração prima:\n
Com p=7:
a_7=\left\lfloor\frac{10}{7}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{10}{49}\right\rfloor+\cdots
\left\lfloor\frac{10}{7}\right\rfloor=1,\qquad \left\lfloor\frac{10}{49}\right\rfloor=0,
logo a_7=1.\n
Primos maiores que 7 e menores ou iguais a 10 já foram considerados (os primos até 10 são 2,3,5,7). Assim a fatoração completa de 10! é
10! = 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7^{1}.

Passo 8

Explicação da fórmula para contar divisores (por que \prod (a_i+1)):\n
  • Se um número N tem fatoração N=\prod p_i^{a_i}, qualquer divisor positivo d de N também se escreve como d=\prod p_i^{b_i}, onde cada expoente b_i é um inteiro tal que 0\le b_i\le a_i.\n
  • Para cada primo p_i temos a_i+1 possibilidades para b_i (valores 0,1,2,\dots,a_i). Como as escolhas para diferentes primos são independentes, o número total de divisores é o produto \prod_i (a_i+1).\n
  • Exemplo rápido: se N=2^2\cdot3^1, então a_2=2 e a_3=1. Possíveis expoentes para 2 são 0,1,2 (3 opções) e para 3 são 0,1 (2 opções), total 3\cdot2=6 divisores.

Passo 9

Aplicando a fórmula ao nosso caso e fazendo as contas passo a passo:\n
Temos 10! = 2^{8}\cdot 3^{4}\cdot 5^{2}\cdot 7^{1}, então o número de divisores positivos é
(8+1)\cdot(4+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1).
Calculemos em etapas:
8+1=9,\qquad 4+1=5,\qquad 2+1=3,\qquad 1+1=2.
Multiplicando:
9\cdot 5 = 45,
45\cdot 3 = 135,
135\cdot 2 = 270.

Resposta

270

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