Questão 35. Se a matriz M satisfaz M^{2}-2 M+I=O, então determine M^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz M que satisfaz
M^{2}-2M+I=O,
e pede para determinar M^{-1}. As informações relevantes são:
  • A equação matricial M^{2}-2M+I=O vale para a matriz M.
  • Precisa-se encontrar a matriz inversa M^{-1} (logo, é necessário primeiro garantir que M seja invertível).

Passo 2

Reescrevendo a expressão polinomial de forma factorizada: como I comuta com M, pode-se fatorar
M^{2}-2M+I=(M-I)^{2}.
Explicação didática: ao desenvolver (M-I)(M-I) obtém-se
(M-I)(M-I)=M^2 - MI - IM + I^2 = M^2 -M -M + I = M^2 -2M + I,
porque MI=IM=M e I^2=I. Portanto a equação dada é equivalente a
(M-I)^{2}=O.

Passo 3

Mostrar que M é invertível (motivo: só assim podemos manipular com M^{-1}). Uma forma simples e direta:
suponha que exista x\neq 0 tal que Mx=0. Aplicando a equação M^{2}-2M+I=O ao vetor x obtemos
(M^{2}-2M+I)x = M^{2}x -2Mx + Ix = M(Mx) -2(Mx) + x = M0 -2\cdot 0 + x = x.
Mas a equação diz que o lado esquerdo é O x = 0, logo x=0, contradição. Portanto não existe vetor não nulo no núcleo de M, isto é, \ker(M)=\{0\}. Uma matriz quadrada com núcleo trivial é invertível. Assim M é invertível.
Comentário adicional (intuição): os autovalores \lambda de M satisfazem \lambda^{2}-2\lambda+1=0, ou seja (\lambda-1)^{2}=0, então \lambda=1 (zero não é autovalor), o que também garante invertibilidade.

Passo 4

Agora que M é invertível, multiplica-se a equação dada por M^{-1}. Por exemplo, multiplicando à direita por M^{-1} temos
M^{2}M^{-1}-2MM^{-1}+IM^{-1}=OM^{-1}.
Simplificando cada termo usando MM^{-1}=I e OM^{-1}=O, obtém-se
M-2I+M^{-1}=O.
Isolando M^{-1} vem
M^{-1}=2I-M.

Passo 5

Verificação rápida e interpretação didática: se M=I então a fórmula dá M^{-1}=2I-I=I, consistente. Mais genericamente, este é um exemplo do seguinte princípio útil para provas e provas rápidas: se uma matriz satisfaz um polinômio p(M)=O e for possível isolar um termo com M^{-1} (ou se p(0)\neq 0), muitas vezes dá para expressar M^{-1} como um polinômio em M. Aqui a manipulação direta foi suficiente e simples.

Resposta

M^{-1}=2I-M

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