Questão 35. Se a matriz
satisfaz
, então determine
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
que satisfaz
e pede para determinar
. As informações relevantes são:
- A equação matricial
vale para a matriz . - Precisa-se encontrar a matriz inversa
(logo, é necessário primeiro garantir que seja invertível).
Passo 2
Reescrevendo a expressão polinomial de forma factorizada: como
comuta com
, pode-se fatorar
Explicação didática: ao desenvolver
obtém-se
porque
e
. Portanto a equação dada é equivalente a
Passo 3
Mostrar que
é invertível (motivo: só assim podemos manipular com
). Uma forma simples e direta:
suponha que exista tal que
. Aplicando a equação
ao vetor
obtemos
suponha que exista
Mas a equação diz que o lado esquerdo é
, logo
, contradição. Portanto não existe vetor não nulo no núcleo de
, isto é,
. Uma matriz quadrada com núcleo trivial é invertível. Assim
é invertível.
Comentário adicional (intuição): os autovalores
de
satisfazem
, ou seja
, então
(zero não é autovalor), o que também garante invertibilidade.
Passo 4
Agora que
é invertível, multiplica-se a equação dada por
. Por exemplo, multiplicando à direita por
temos
Simplificando cada termo usando
e
, obtém-se
Isolando
vem
Passo 5
Verificação rápida e interpretação didática: se
então a fórmula dá
, consistente. Mais genericamente, este é um exemplo do seguinte princípio útil para provas e provas rápidas: se uma matriz satisfaz um polinômio
e for possível isolar um termo com
(ou se
), muitas vezes dá para expressar
como um polinômio em
. Aqui a manipulação direta foi suficiente e simples.