Questão 37. Seja A uma matriz que satisfaz a equação A \cdot\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 1 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 5 \\\\ 0 & 1 & -4 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right).
Encontre:
a) \left(A^{t}\right)^{-1}.
b) A.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre matrizes
A\cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos chamar
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad V=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
As perguntas são:
a) encontrar \left(A^{t}\right)^{-1};
b) encontrar A.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação matricial é A\,U=V.
  • As matrizes U e V são triangulares superiores com todos os elementos da diagonal iguais a 1 (logo são invertíveis).
  • Preciso usar propriedades de inversa e transposta de matrizes para obter \left(A^{t}\right)^{-1} e A.]

Passo 2

Ideia-chave (fatos úteis que vamos usar):
  • Se A U = V e U é invertível, então A = V\,U^{-1}.
  • A propriedade das transpostas e inversas: \left(A^{t}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t}.
  • A propriedade das inversas de produto: (XY)^{-1} = Y^{-1}X^{-1}.
Não começamos ainda os cálculos numéricos, mas já sabemos que vamos precisar de U^{-1} (ou de V^{-1}) para obter A e A^{-1}.

Passo 3

Calcular U^{-1}. Vou resolver U X = I coluna a coluna (método prático e simples para matrizes triangulares).
Escrevendo X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}\\[4pt]x_{21}&x_{22}&x_{23}\\[4pt]x_{31}&x_{32}&x_{33}\end{pmatrix} e impondo U X = I.
Coluna 1: resolver U \begin{pmatrix}x_{11}\\[4pt]x_{21}\\[4pt]x_{31}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Das equações (linha 3) vem x_{31}=0.
Linha 2: x_{21}+4x_{31}=0 \Rightarrow x_{21}=0.
Linha 1: x_{11}+2x_{21}+3x_{31}=1 \Rightarrow x_{11}=1.
Portanto primeira coluna é \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Coluna 2: resolver U \begin{pmatrix}x_{12}\\[4pt]x_{22}\\[4pt]x_{32}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Linha 3: x_{32}=0.
Linha 2: x_{22}+4x_{32}=1 \Rightarrow x_{22}=1.
Linha 1: x_{12}+2x_{22}+3x_{32}=0 \Rightarrow x_{12}+2=0 \Rightarrow x_{12}=-2.
Portanto segunda coluna é \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Coluna 3: resolver U \begin{pmatrix}x_{13}\\[4pt]x_{23}\\[4pt]x_{33}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Linha 3: x_{33}=1.
Linha 2: x_{23}+4x_{33}=0 \Rightarrow x_{23}=-4.
Linha 1: x_{13}+2x_{23}+3x_{33}=0 \Rightarrow x_{13}+2(-4)+3=0 \Rightarrow x_{13}=5.
Portanto terceira coluna é \begin{pmatrix}5\\[4pt]-4\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Logo
U^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5\\[4pt] 0 & 1 & -4\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Observação importante: comparando com a matriz V dada, vemos que
U^{-1}=V.
Ou seja, a matriz que nos deram do lado direito já é a inversa de U. Isso facilita muito os próximos passos.

Passo 5

Determinar A a partir de A U = V. Como U é invertível,
A = V\,U^{-1}.
Mas, do Passo 4, U^{-1}=V. Portanto
A = V\,V = V^{2}.
Agora calculamos V^{2} explicitamente.

Passo 6

Calcular V^{2}=V\cdot V. Escrevendo V=\begin{pmatrix}1 & -2 & 5\\[4pt]0 & 1 & -4\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix} e multiplicando:
Cálculos elemento a elemento (mostrando como fazer sem pular passos):
  • Primeira linha, primeira coluna: 1\cdot 1 + (-2)\cdot 0 + 5\cdot 0 = 1.
  • Primeira linha, segunda coluna: 1\cdot(-2) + (-2)\cdot 1 + 5\cdot 0 = -2 - 2 = -4.
  • Primeira linha, terceira coluna: 1\cdot 5 + (-2)\cdot(-4) + 5\cdot 1 = 5 + 8 + 5 = 18.
  • Segunda linha, primeira coluna: 0.
  • Segunda linha, segunda coluna: 0\cdot(-2) + 1\cdot 1 + (-4)\cdot 0 = 1.
  • Segunda linha, terceira coluna: 0\cdot 5 + 1\cdot(-4) + (-4)\cdot 1 = -4 -4 = -8.
  • Terceira linha: por ser identidade na diagonal superior-triangular, fica (0,0,1).
Assim
A = V^{2} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 18\\[4pt] 0 & 1 & -8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora vamos obter \left(A^{t}\right)^{-1}. Usamos a propriedade já citada:
\left(A^{t}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t}.
Então precisamos de A^{-1}. Como A = V^{2}, tem-se
A^{-1} = (V^{2})^{-1} = (V^{-1})^{2}.
Mas V^{-1}=(U^{-1})^{-1}=U. Logo A^{-1}=U^{2}. Então vamos calcular U^{2}.

Passo 8

Calcular U^{2} com U=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&1&4\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}:
  • Primeira linha, primeira coluna: 1.
  • Primeira linha, segunda coluna: 1\cdot2 + 2\cdot1 + 3\cdot0 = 2+2 = 4.
  • Primeira linha, terceira coluna: 1\cdot3 + 2\cdot4 + 3\cdot1 = 3 + 8 + 3 = 14.
  • Segunda linha, primeira coluna: 0.
  • Segunda linha, segunda coluna: 1.
  • Segunda linha, terceira coluna: 0\cdot3 +1\cdot4 +4\cdot1 = 4+4 = 8.
  • Terceira linha: (0,0,1).
Portanto
A^{-1} = U^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 14\\[4pt] 0 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 9

Finalmente, aplicando a transposição:
\left(A^{t}\right)^{-1} = \left(A^{-1}\right)^{t} = \left( \begin{pmatrix} 1 & 4 & 14\\[4pt] 0 & 1 & 8\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 0\\[4pt] 14 & 8 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

\left(A^{t}\right)^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]4 & 1 & 0\\[4pt]14 & 8 & 1\end{pmatrix}
A=\begin{pmatrix}1 & -4 & 18\\[4pt]0 & 1 & -8\\[4pt]0 & 0 & 1\end{pmatrix}]

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