Questão 36. Obtenha a matriz X^{-1} que satisfaz a equação matricial A^{t} X B=C onde
A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 3 \\\\ 4 & 9 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\\\ 0 & -1 & 2\end{array}\right) e C=\left(\begin{array}{ccc}-8 & 0 & 0 \\\\ -18 & 7 & -14 \\\\ 0 & -6 & 12\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede a matriz inversa X^{-1} da matriz quadrada X que satisfaz a equação matricial
A^{t} X B = C.
As matrizes fornecidas são (peguei estas do enunciado):
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[4pt] 4 & 9 & 0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}-8 & 0 & 0 \\[4pt] -18 & 7 & -14 \\[4pt] 0 & -6 & 12\end{pmatrix}.
Informação útil de dimensão (importante para todo o caminho):
  • A é 2\times3, então A^{t} é 3\times2.
  • B é 2\times3.
  • C é 3\times3.
Para que o produto A^{t} X B resulte em uma matriz 3\times3 como C, a matriz X deve ser 2\times2. Queremos, portanto, encontrar X^{-1} após achar X.]

Passo 2

Estratégia para isolar X (explicação didática e motivo das manipulações).
Temos \,A^{t} X B = C. Para isolar X faremos operações que preservam igualdade e usam inversas de matrizes quadradas de dimensões compatíveis:
  1. Multiplicar à esquerda por A (matriz 2\times3) produzirá uma equação com fator quadrado A A^{t} ( 2\times2), que costuma ser invertível se A tem posto máximo nas linhas. Assim obtemos uma equação envolvendo A A^{t}, X e B.
  2. Depois multiplicaremos à direita por B^{t} para introduzir o fator B B^{t} ( 2\times2), que também pode ser invertido se B tem posto máximo nas linhas.
  3. Assim conseguiremos uma expressão do tipo
X = (A A^{t})^{-1} A C B^{t} (B B^{t})^{-1},
desde que (A A^{t}) e (B B^{t}) sejam invertíveis. A seguir calculamos cada peça explicitamente.

Passo 3

Calcular \,A A^{t} e verificar inversibilidade; em seguida obter (A A^{t})^{-1}.
Primeiro calculemos \,A A^{t} (produto 2\times3 por 3\times2 2\times2):
A A^{t}= \begin{pmatrix}2 & 1 & 3 \\[4pt] 4 & 9 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 4 \\[4pt] 1 & 9 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^2+1^2+3^2 & 2\cdot4 +1\cdot9 +3\cdot0 \\[4pt] 4\cdot2 +9\cdot1 +0\cdot3 & 4^2+9^2+0^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 17 \\[4pt] 17 & 97\end{pmatrix}.
Determinante:
\det(A A^{t}) = 14\cdot 97 - 17\cdot17 = 1358 - 289 = 1069 \neq 0,
logo (A A^{t}) é invertível. Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando isso:
(A A^{t})^{-1}=\frac{1}{1069}\begin{pmatrix}97 & -17 \\[4pt] -17 & 14\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular o produto A C (será útil para (A A^{t})^{-1} A C).
Multiplicação A ( 2\times3) por C ( 3\times3) dá 2\times3. Calcule elemento a elemento (produto interno das linhas de A com as colunas de C):
  • Linha 1 de A é (2,1,3). Colunas de C são (-8,-18,0), (0,7,-6), (0,-14,12). Portanto
\begin{aligned} (A C)_{1,1} &= 2\cdot(-8)+1\cdot(-18)+3\cdot 0 = -34,\\\ (A C)_{1,2} &= 2\cdot 0 +1\cdot 7 +3\cdot(-6) = -11,\\\ (A C)_{1,3} &= 2\cdot 0 +1\cdot(-14)+3\cdot 12 = 22. \end{aligned}
  • Linha 2 de A é (4,9,0). Assim
\begin{aligned} (A C)_{2,1} &= 4\cdot(-8)+9\cdot(-18)+0\cdot 0 = -194,\\\ (A C)_{2,2} &= 4\cdot 0 +9\cdot 7 +0\cdot(-6) = 63,\\\ (A C)_{2,3} &= 4\cdot 0 +9\cdot(-14)+0\cdot 12 = -126. \end{aligned}
Logo
A C = \begin{pmatrix}-34 & -11 & 22 \\[4pt] -194 & 63 & -126\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular \,M := (A A^{t})^{-1} A C. Isso dá uma matriz 2\times3.
Usando (A A^{t})^{-1}=\dfrac{1}{1069}\begin{pmatrix}97 & -17\\[4pt]-17 & 14\end{pmatrix} e A C calculada:
M=\frac{1}{1069}\begin{pmatrix}97 & -17\\[4pt]-17 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-34 & -11 & 22 \\[4pt] -194 & 63 & -126\end{pmatrix}.
Façamos as contas coluna a coluna (cada entrada é soma de produtos):
Primeira linha de M:
\begin{aligned} M_{1,1}&=\frac{1}{1069}\big(97(-34)+(-17)(-194)\big)=\frac{0}{1069}=0,\\[4pt] M_{1,2}&=\frac{1}{1069}\big(97(-11)+(-17)(63)\big)=\frac{-2138}{1069}=-2,\\[4pt] M_{1,3}&=\frac{1}{1069}\big(97\cdot22+(-17)(-126)\big)=\frac{4276}{1069}=4. \end{aligned}
Segunda linha de M:
\begin{aligned} M_{2,1}&=\frac{1}{1069}\big((-17)(-34)+14(-194)\big)=\frac{-2138}{1069}=-2,\\[4pt] M_{2,2}&=\frac{1}{1069}\big((-17)(-11)+14\cdot63\big)=\frac{1069}{1069}=1,\\[4pt] M_{2,3}&=\frac{1}{1069}\big((-17)\cdot22+14(-126)\big)=\frac{-2138}{1069}=-2. \end{aligned}
Portanto
M=(A A^{t})^{-1} A C = \begin{pmatrix}0 & -2 & 4 \\[4pt] -2 & 1 & -2\end{pmatrix}.
Observe que a partir da equação original multiplicando A à esquerda obtemos
A A^{t} X B = A C \quad\Longrightarrow\quad X B = (A A^{t})^{-1} A C = M.]

Passo 6

Isolar X usando B B^{t}. Como X B = M, multiplicamos à direita por B^{t} e usamos B B^{t} invertível:
X B B^{t} = M B^{t} \quad\Longrightarrow\quad X = M B^{t} (B B^{t})^{-1},
desde que B B^{t} seja invertível. Vamos calcular B B^{t} e sua inversa.
Calcule B B^{t} (produto 2\times3 por 3\times2 2\times2):
B B^{t} = \begin{pmatrix}-2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & -1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & 0 \\[4pt] 0 & 5\end{pmatrix}.
Determinante =4\cdot5-0=20\neq0, então invertível, e
(B B^{t})^{-1} = \begin{pmatrix}1/4 & 0\\[4pt] 0 & 1/5\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular M B^{t}. Aqui M é 2\times3 e B^{t} é 3\times2, produto dá 2\times2.
Recordando M=\begin{pmatrix}0 & -2 & 4 \\[4pt] -2 & 1 & -2\end{pmatrix} e
B^{t}=\begin{pmatrix}-2 & 0\\[4pt] 0 & -1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix},
fazemos o produto coluna a coluna:
M B^{t} = \begin{pmatrix} 0\cdot(-2)+(-2)\cdot 0 +4\cdot 0 & 0\cdot 0 +(-2)(-1)+4\cdot 2 \\[6pt] (-2)(-2)+1\cdot 0 +(-2)\cdot 0 & (-2)\cdot 0 +1(-1)+(-2)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 10 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calcular X = M B^{t} (B B^{t})^{-1}. Como (B B^{t})^{-1} é diagonal, multiplicar por ele à direita escala as colunas:
X = \begin{pmatrix}0 & 10 \\[4pt] 4 & -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1/4 & 0 \\[4pt] 0 & 1/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\cdot\frac{1}{4} & 10\cdot\frac{1}{5} \\[4pt] 4\cdot\frac{1}{4} & (-5)\cdot\frac{1}{5}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix}.
Assim encontramos X. Agora precisamos de X^{-1}.]

Passo 9

Calcular X^{-1} usando a fórmula da inversa de 2\times2. Para
X=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
o determinante é \det X = ad-bc = 0\cdot(-1)-2\cdot 1 = -2. Como \det X\neq 0, a inversa existe e vale
X^{-1}=\frac{1}{\det X}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix} =\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt] -1 & 0\end{pmatrix}.
Simplificando os sinais e frações:
X^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 1 \\[4pt] 1/2 & 0\end{pmatrix}.
Pode-se checar (rápido) que X^{-1}X=I:
\begin{pmatrix}1/2 & 1 \\[4pt] 1/2 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 2\\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.]

Resposta

X^{-1}=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & 1 \\[4pt] \tfrac{1}{2} & 0\end{pmatrix}]

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