Informação útil de dimensão (importante para todo o caminho):
A é 2\times3, então A^{t} é 3\times2.
B é 2\times3.
C é 3\times3.
Para que o produto A^{t} X B resulte em uma matriz 3\times3 como C, a matriz X deve ser 2\times2. Queremos, portanto, encontrar X^{-1} após achar X.]
Passo 2
Estratégia para isolar X (explicação didática e motivo das manipulações).
Temos \,A^{t} X B = C. Para isolar X faremos operações que preservam igualdade e usam inversas de matrizes quadradas de dimensões compatíveis:
Multiplicar à esquerda por A (matriz 2\times3) produzirá uma equação com fator quadrado A A^{t} (2\times2), que costuma ser invertível se A tem posto máximo nas linhas. Assim obtemos uma equação envolvendo A A^{t}, X e B.
Depois multiplicaremos à direita por B^{t} para introduzir o fator B B^{t} (2\times2), que também pode ser invertido se B tem posto máximo nas linhas.
Assim conseguiremos uma expressão do tipo
X = (A A^{t})^{-1} A C B^{t} (B B^{t})^{-1},
desde que (A A^{t}) e (B B^{t}) sejam invertíveis. A seguir calculamos cada peça explicitamente.
Passo 3
Calcular \,A A^{t} e verificar inversibilidade; em seguida obter (A A^{t})^{-1}.
Primeiro calculemos \,A A^{t} (produto 2\times3 por 3\times2 dá 2\times2):