C: x^{2}+8 x y+7 y^{2}+8 \sqrt{5} x+14 \sqrt{5} y+26=0
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine (analisando a matriz 2 \times 2 associada) se C é uma parábola, hipérbole ou elipse. Justifique.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.
Dados: Se A=\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 4 & 7\end{array}\right), então X=\binom{-2}{1} é autovetor com autovalor \lambda=-1.
e pede (a) escrevê-la em forma matricial para classificar (parábola, elipse ou hipérbole) a partir da matriz 2\times2 do termo quadrático, e (b) aplicar rotações e translações de coordenadas para obter a forma reduzida.
Passo 2
Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Seja
Como \det A<0, a matriz tem autovalores de sinais opostos, logo C é uma hipérbole.
Passo 3
Para reduzir a forma quadrática, diagonalizamos A. Seu traço é \mathrm{tr}\,A=1+7=8 e \det A=-9, logo os autovalores são \lambda_{1}=-1 e \lambda_{2}=9.
Um autovetor para \lambda_{1}=-1 é dado no enunciado: \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=9 basta resolver (A-9I)\mathbf{v}=0, obtendo, por exemplo, \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.
Passo 4
Normalizamos esses vetores para formar a matriz de rotação ortonormal R: