Questão 3 (35 pontos). Considere a cônica
C: x^{2}+8 x y+7 y^{2}+8 \sqrt{5} x+14 \sqrt{5} y+26=0
(a) Coloque a equação de C na forma matricial e determine (analisando a matriz 2 \times 2 associada) se C é uma parábola, hipérbole ou elipse. Justifique.
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.
Dados: Se A=\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 4 & 7\end{array}\right), então X=\binom{-2}{1} é autovetor com autovalor \lambda=-1.

Passo 1

O enunciado dá a cônica
C: x^{2}+8xy+7y^{2}+8\sqrt{5}\,x+14\sqrt{5}\,y+26=0
e pede (a) escrevê-la em forma matricial para classificar (parábola, elipse ou hipérbole) a partir da matriz 2\times2 do termo quadrático, e (b) aplicar rotações e translações de coordenadas para obter a forma reduzida.

Passo 2

Escrevemos a parte quadrática em forma matricial. Seja
A=\begin{pmatrix}1&4\\\ 4&7\end{pmatrix},\quad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}8\sqrt{5}\\\ 14\sqrt{5}\end{pmatrix},\quad c=26.
Então a equação fica
\mathbf{x}^{T}A\,\mathbf{x}+\mathbf{b}^{T}\mathbf{x}+c=0.
Para classificar, calculamos \det A:
\det A = (1)(7)-(4)(4)=7-16=-9<0.
Como \det A<0, a matriz tem autovalores de sinais opostos, logo C é uma hipérbole.

Passo 3

Para reduzir a forma quadrática, diagonalizamos A. Seu traço é \mathrm{tr}\,A=1+7=8 e \det A=-9, logo os autovalores são \lambda_{1}=-1 e \lambda_{2}=9.
Um autovetor para \lambda_{1}=-1 é dado no enunciado: \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=9 basta resolver (A-9I)\mathbf{v}=0, obtendo, por exemplo, \mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

Normalizamos esses vetores para formar a matriz de rotação ortonormal R:
\mathbf{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\\ 2\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}\mathbf{e}_{1}&\mathbf{e}_{2}\end{pmatrix}.
Definimos as novas coordenadas \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=R\begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\end{pmatrix}.
Na nova base a parte quadrática vira
-1\;x_{1}^{2}+9\;y_{1}^{2}.

Passo 5

Transformamos também o termo linear. Escrevemos
\mathbf{b}^{T}\mathbf{x} = \mathbf{b}^{T}R\begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\end{pmatrix} = (\underbrace{R^{T}\mathbf{b}}_{=\begin{pmatrix}-2\\\ 36\end{pmatrix}})^{T} \begin{pmatrix}x_{1}\y_{1}\end{pmatrix} = -2\,x_{1}+36\,y_{1}.
Assim a equação em (x_{1},y_{1}) é
-\,x_{1}^{2}+9\,y_{1}^{2}-2\,x_{1}+36\,y_{1}+26=0.

Passo 6

Fazemos o quadrado completando em x_{1} e y_{1}:
-\,x_{1}^{2}-2\,x_{1}= -\bigl(x_{1}+1\bigr)^{2}+1, \qquad 9\,y_{1}^{2}+36\,y_{1}=9\bigl(y_{1}+2\bigr)^{2}-36.
Substituindo na equação geral:
-\bigl(x_{1}+1\bigr)^{2}+1 +9\bigl(y_{1}+2\bigr)^{2}-36 +26=0 \;\Longrightarrow\; -\bigl(x_{1}+1\bigr)^{2}+9\bigl(y_{1}+2\bigr)^{2}-9=0.
Dividindo por 9 e reordenando, obtemos a forma reduzida
\boxed{ \frac{(y_{1}+2)^{2}}{1}\;-\;\frac{(x_{1}+1)^{2}}{9}=1, }
que é a equação de uma hipérbole em coordenadas centradas em (x_{1},y_{1})=(-1,-2).

Resposta

(a) A matriz do termo quadrático é
A=\begin{pmatrix}1&4\\\ 4&7\end{pmatrix},\quad \det A=-9<0,
portanto C é uma hipérbole.
(b) Após rotação R e translação (x_{1},y_{1})\mapsto(x_{1}+1,y_{1}+2), a forma reduzida é
\frac{(y_{1}+2)^{2}}{1}-\frac{(x_{1}+1)^{2}}{9}=1.

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