Questão 1: Determine a equação da superfície cilíndrica com diretriz \mathbf{C} e reta geratriz r. Esboce a superfície.
\mathbf{C}:\left\{\begin{array}{l}x=3 \\\ z=0\end{array}\right. e \mathbf{r}: \frac{x}{-3}=\frac{y}{4}=\frac{z-1}{2}

Passo 1

O enunciado pede a superfície cilíndrica de diretriz \mathbf{C} e geratriz paralela à reta \mathbf{r}.
Conteúdo: superfícies cilíndricas em geometria analítica.
O que vamos usar:
  • A diretriz \mathbf{C} é a reta dada por x=3,\quad z=0,que parametricamente é (3,t,0), t\in\mathbb{R}.
  • A reta geratriz \mathbf{r} tem equação simétrica \frac{x}{-3}=\frac{y}{4}=\frac{z-1}{2},então escolhemos parâmetro \lambda de modo que x=-3\lambda,\quad y=4\lambda,\quad z=1+2\lambda.Logo o vetor-direção é
    \,v=(-3,4,2).
    A superfície cilíndrica é o conjunto de todos os pontos alcançados ao somar um ponto de \mathbf{C} com um múltiplo de v.

Passo 2

Escrevendo o ponto genérico da cilindro: tome um ponto (3,t,0) em \mathbf{C} e some \lambda\,v:
\bigl(x,y,z\bigr) = \bigl(3,t,0\bigr) + \lambda\,(-3,4,2) = \bigl(3-3\lambda,\;t+4\lambda,\;2\lambda\bigr).
Dessa forma
x = 3 - 3\lambda, \quad y = t + 4\lambda, \quad z = 2\lambda.

Passo 3

Eliminamos os parâmetros t e \lambda para achar a equação implícita.
De x = 3 - 3\lambda vem
\lambda = \frac{3 - x}{3}.
Substituindo em z = 2\lambda:
z = 2\;\frac{3 - x}{3} \quad\Longrightarrow\quad 3z = 2(3 - x) \quad\Longrightarrow\quad 2x + 3z = 6.
Note que y não aparece na relação, ficando livre.

Resposta

A equação da superfície cilíndrica é
2x + 3z = 6,
com y arbitrário.
Geometricamente é um plano paralelo ao eixo y, interceptando o eixo x em (3,0,0) e o eixo z em (0,0,2).

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