Questão 4:
Classifique as afirmativas em verdadeiro ou falso. Justifique as falsas.
a) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. ( )
b) A aplicação
com
é Transformação Linear. ( )
c) Se o produto interno entre dois vetores é nulo, então pelo menos um dos vetores é nulo.
d) A imagem de
pela rotação de
rad em torno da origem, no sentido anti-horário, é
. ( )
e) Se v for um vetor não nulo em V , então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.
a) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. ( )
b) A aplicação
c) Se o produto interno entre dois vetores é nulo, então pelo menos um dos vetores é nulo.
d) A imagem de
e) Se v for um vetor não nulo em V , então existe exatamente uma transformação linear
Passo 1
O enunciado pede para classificar cada afirmativa em verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar as que forem falsas. Os conteúdos envolvidos são propriedades de produto interno em espaços euclidianos, definição de transformação linear e efeito de rotações em
.
Passo 2
a) “O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo.”
Essa afirmativa é falsa. Num produto interno usual em , temos
Essa afirmativa é falsa. Num produto interno usual em
que pode ser negativo se
e
tiverem componentes com sinais opostos. Por exemplo, em
,
então
Passo 3
b) “A aplicação
com
é transformação linear.”
Essa afirmativa é falsa. Para ser linear, e
devem valer. Mas, pelo termo
, não há homogeneidade:
Essa afirmativa é falsa. Para ser linear,
Passo 4
c) “Se o produto interno entre dois vetores é nulo, então pelo menos um dos vetores é nulo.”
Essa afirmativa é falsa. Produto interno zero significa ortogonalidade, não nulidade. Por exemplo, em :
Essa afirmativa é falsa. Produto interno zero significa ortogonalidade, não nulidade. Por exemplo, em
temos
mas
e
.
Passo 5
d) “A imagem de
pela rotação de
rad em torno da origem, no sentido anti-horário, é
.”
Essa afirmativa é falsa. A rotação de é dada pela matriz
Essa afirmativa é falsa. A rotação de
logo
não
.
Passo 6
e) “Se
for um vetor não nulo em
, então existe exatamente uma transformação linear
tal que
.”
Essa afirmativa é falsa. Toda transformação linear satisfaz , mas isso não a determina unicamente: há infinitas transformações lineares em
e todas cumprem essa propriedade, não “exatamente uma”.
Essa afirmativa é falsa. Toda transformação linear satisfaz
Resposta
a) F
b) F
c) F
d) F
e) F
b) F
c) F
d) F
e) F