Questão 4:

Classifique as afirmativas em verdadeiro ou falso. Justifique as falsas.
a) O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo. ( )
b) A aplicação T: R^{2} \rightarrow R^{2} com T(x, y)=\left(x^{2}, x-y\right) é Transformação Linear. ( )
c) Se o produto interno entre dois vetores é nulo, então pelo menos um dos vetores é nulo.
d) A imagem de (1,1) pela rotação de \frac{\pi}{2} rad em torno da origem, no sentido anti-horário, é \left(\frac{-1}{2}, \frac{1}{2}\right). ( )
e) Se v for um vetor não nulo em V , então existe exatamente uma transformação linear T: V \rightarrow W tal que T(-v)=-T(v).

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada afirmativa em verdadeira (V) ou falsa (F) e justificar as que forem falsas. Os conteúdos envolvidos são propriedades de produto interno em espaços euclidianos, definição de transformação linear e efeito de rotações em \mathbb{R}^2.

Passo 2

a) “O produto interno de dois vetores não pode ser um número real negativo.”
Essa afirmativa é falsa. Num produto interno usual em \mathbb{R}^n, temos
\langle u,v\rangle = \sum_{i=1}^n u_i\,v_i,
que pode ser negativo se u e v tiverem componentes com sinais opostos. Por exemplo, em \mathbb{R}^2,
u=(1,0),\quad v=(-1,0)
então
\langle u,v\rangle = 1\cdot(-1)+0\cdot0=-1<0.

Passo 3

b) “A aplicação T\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 com T(x,y)=(x^2,x-y) é transformação linear.”
Essa afirmativa é falsa. Para ser linear, T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\lambda u)=\lambda T(u) devem valer. Mas, pelo termo x^2, não há homogeneidade:
T(2,0)=(2^2,2-0)=(4,2)\neq 2\,T(1,0)=2\,(1^2,1-0)=(2,2).

Passo 4

c) “Se o produto interno entre dois vetores é nulo, então pelo menos um dos vetores é nulo.”
Essa afirmativa é falsa. Produto interno zero significa ortogonalidade, não nulidade. Por exemplo, em \mathbb{R}^2:
u=(1,0),\quad v=(0,1),
temos
\langle u,v\rangle =1\cdot0+0\cdot1=0,
mas u\neq0 e v\neq0.

Passo 5

d) “A imagem de (1,1) pela rotação de \tfrac\pi2 rad em torno da origem, no sentido anti-horário, é \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr).”
Essa afirmativa é falsa. A rotação de \pi/2 é dada pela matriz
R=\begin{pmatrix}0&-1\\\ 1&0\end{pmatrix},
logo
R\,(1,1) =\bigl(0\cdot1-1\cdot1,\;1\cdot1+0\cdot1\bigr) =(-1,1),
não \bigl(-\tfrac12,\tfrac12\bigr).

Passo 6

e) “Se v for um vetor não nulo em V, então existe exatamente uma transformação linear T\colon V\to W tal que T(-v)=-T(v).”
Essa afirmativa é falsa. Toda transformação linear satisfaz T(-v)=T((-1)v)=(-1)T(v)=-T(v), mas isso não a determina unicamente: há infinitas transformações lineares em V\to W e todas cumprem essa propriedade, não “exatamente uma”.

Resposta

a) F
b) F
c) F
d) F
e) F

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