Suponha que \mathrm{u}, \mathrm{v} e w sejam vetores de um Espaço com produto Interno Euclidiano tais \langle u, v\rangle=1,\langle w, v\rangle=-2, \langle u, w\rangle=3,\|u\|=3,\|v\|=2 e\|w\|=3. Calcule:
a) \langle u-2 v, v-2 w\rangle
b) \|2 u-v+2 w\|

Passo 1

O enunciado nos dá vetores u,v,w num espaço com produto interno, com
\langle u,v\rangle=1, \langle w,v\rangle=-2, \langle u,w\rangle=3,
\|u\|=3, \|v\|=2, \|w\|=3,
e pede
(a) \langle u-2v,\,v-2w\rangle
(b) \|2u - v + 2w\|.
Vamos usar a bilinearidade do produto interno e a relação \|x\|^2=\langle x,x\rangle.

Passo 2

Para (a) expandimos
\langle u-2v,\,v-2w\rangle =\langle u,v\rangle -2\langle u,w\rangle -2\langle v,v\rangle +4\langle v,w\rangle.
Substituindo \langle u,v\rangle=1, \langle u,w\rangle=3,
\langle v,v\rangle=\|v\|^2=4 e \langle v,w\rangle=-2, obtemos
1 -2\cdot3 -2\cdot4 +4\cdot(-2) =1 -6 -8 -8 =-21.

Passo 3

Para (b) calculamos o quadrado da norma usando
\|2u - v + 2w\|^2 =\langle 2u - v +2w,\,2u - v +2w\rangle.
Seja a=2u, b=-v, c=2w. Então
\|a+b+c\|^2=\|a\|^2+\|b\|^2+\|c\|^2 +2\langle a,b\rangle+2\langle a,c\rangle+2\langle b,c\rangle.
Calculamos:
\|a\|^2=4\|u\|^2=4\cdot9=36,\quad \|b\|^2=\|v\|^2=4,\quad \|c\|^2=4\|w\|^2=4\cdot9=36,
\langle a,b\rangle=2\langle u,-v\rangle=-2\langle u,v\rangle=-2, \quad \langle a,c\rangle=4\langle u,w\rangle=4\cdot3=12, \quad \langle b,c\rangle=-2\langle v,w\rangle=-2\cdot(-2)=4.
Somando,
\|2u-v+2w\|^2=36+4+36+2(-2+12+4)=76+28=104,
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\|2u-v+2w\|=\sqrt{104}=2\sqrt{26}.

Resposta

a) -21
b) 2\sqrt{26}

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