Questão 3 (35 pontos). Considere os pontos A=(-1,1,1), B=(-3,-1,0) e C=(0,-1,1).
(a) Encontre uma equação geral do plano \pi que contém A, B e C.
(b) Encontre equações paramétricas para a reta R que passa por \dot{A} e B.
(c) Determine se R tem algum ponto em comum com a reta R_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=-1+3 s, \\\ y=5+s, \\\ z=2+s,\end{array} \quad s \in \mathbb{R}\right..

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) encontrar a equação geral do plano \pi que passa pelos pontos A=(-1,1,1), B=(-3,-1,0) e C=(0,-1,1); (b) escrever as equações paramétricas da reta R que passa por A e B; (c) verificar se R intersecta a reta
R_{2}:\begin{cases} x=-1+3s,\\\ y=5+s,\\\ z=2+s, \end{cases} \quad s\in\mathbb{R}.
O conteúdo de matéria é geometria analítica espacial: cálculo de vetor normal via produto vetorial, equações de plano e de reta, e solução de sistema paramétrico.

Passo 2

Para achar a equação de \pi usamos dois vetores diretores no plano, por exemplo
\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,-2,-1), \qquad \overrightarrow{AC}=C-A=(1,-2,0).
O vetor normal é
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} =(-2,-2,-1)\times(1,-2,0) =(-2,-1,6).
Logo a equação de \pi é \mathbf{n}\cdot(x-A)=0, isto é,
-2(x+1)-1(y-1)+6(z-1)=0
que simplifica para
2x+y-6z+7=0.

Passo 3

A reta R que passa por A e B tem vetor diretor \overrightarrow{AB}=(-2,-2,-1). Em parâmetro t\in\mathbb{R},
x=-1-2t,\quad y=1-2t,\quad z=1-t.

Passo 4

Para ver se R cruza R_2 igualamos coordenadas. Com x_R=-1-2t e x_{R_2}=-1+3s vem -2t=3s. Com y_R=1-2t e y_{R_2}=5+s vem 1-2t=5+s. Desses,
s=-\tfrac{2}{3}t, \quad 1-2t=5-\tfrac{2}{3}t \;\Longrightarrow\; -\tfrac{4}{3}t=4 \;\Longrightarrow\; t=-3, \quad s=2.
Em t=-3 e s=2 ambas dão z=4, logo há interseção no ponto comum.

Resposta

(a) 2x + y - 6z + 7 = 0.
(b) x = -1 - 2t,\quad y = 1 - 2t,\quad z = 1 - t,\quad t\in\mathbb{R}.
(c) Sim. As retas se intersectam em (5,7,4).

Exercícios relacionados