Seja E=\left\{p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} / p(1)=0\right., e \left.p(-1)=0\right\}.
(a) Verifique que E é subespços de \mathcal{P}_{2}
(b) Encontre uma base e a dimensão de E.

Passo 1

O enunciado define
E = \{\,p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\in \mathcal{P}_{2}\mid p(1)=0,\;p(-1)=0\}.
O conteúdo aqui é subespaços vetoriais e sistemas lineares para encontrar base e dimensão. Vamos primeiro mostrar que E é subespaço de \mathcal{P}_{2} e depois determinar sua base e dimensão.

Passo 2

Para verificar que E é subespaço, usamos o fato de que as condições p(1)=0 e p(-1)=0 são condições lineares nas coeficientes de p.
  1. O polinômio zero p(x)=0 satisfaz p(1)=0 e p(-1)=0, logo 0\in E.
  2. Se p,q\in E então
(p+q)(1)=p(1)+q(1)=0+0=0,\quad (p+q)(-1)=p(-1)+q(-1)=0+0=0,
logo p+q\in E.
3. Se p\in E e \lambda\in\mathbb{R} então
(\lambda p)(1)=\lambda\,p(1)=\lambda\cdot0=0,\quad (\lambda p)(-1)=\lambda\,p(-1)=0,
logo \lambda p\in E.
Assim, E é subespaço.

Passo 3

Agora escrevemos as condições em termos de a_{0},a_{1},a_{2}. Impondo p(1)=0 temos
a_{0}+a_{1}+a_{2}=0,
e impondo p(-1)=0 temos
a_{0}-a_{1}+a_{2}=0.

Passo 4

Para resolver o sistema
\begin{cases} a_{0}+a_{1}+a_{2}=0,\\\ a_{0}-a_{1}+a_{2}=0, \end{cases}
subtraímos a segunda equação da primeira e obtemos
2a_{1}=0\implies a_{1}=0.
Substituindo em a_{0}+a_{1}+a_{2}=0
a_{0}+a_{2}=0\implies a_{2}=-a_{0}.

Passo 5

Com a_{1}=0 e a_{2}=-a_{0}, todo polinômio de E é
p(x)=a_{0}+0\cdot x+(-a_{0})x^{2}=a_{0}(1 - x^{2}).
Isso mostra que E é o conjunto de todos os múltiplos de 1 - x^{2}. Portanto \{\,1 - x^{2}\} gera E e é linearmente independente.

Resposta

Uma base de E é \{\,1 - x^{2}\} e \dim(E)=1.

Exercícios relacionados