Seja
, e
.
(a) Verifique que
é subespços de
(b) Encontre uma base e a dimensão de
.
(a) Verifique que
(b) Encontre uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define
O conteúdo aqui é subespaços vetoriais e sistemas lineares para encontrar base e dimensão. Vamos primeiro mostrar que
é subespaço de
e depois determinar sua base e dimensão.
Passo 2
Para verificar que
é subespaço, usamos o fato de que as condições
e
são condições lineares nas coeficientes de
.
- O polinômio zero
satisfaz e , logo . - Se
então
logo
.
3. Se e
então
3. Se
logo
.
Assim, é subespaço.
Assim,
Passo 3
Agora escrevemos as condições em termos de
. Impondo
temos
e impondo
temos
Passo 4
Para resolver o sistema
subtraímos a segunda equação da primeira e obtemos
Substituindo em
dá
Passo 5
Com
e
, todo polinômio de
é
Isso mostra que
é o conjunto de todos os múltiplos de
. Portanto
gera
e é linearmente independente.
Resposta
Uma base de
é
e
.