Sejam \mathbf{u}_{1}=(1,0,-1), \mathbf{u}_{2}=(1,2,1), \mathbf{u}_{3}=(0,1,1) vetores de \mathbf{R}^{\mathbf{3}}.
Sejam E=\left[\mathbf{u}_{1}, \mathbf{u}_{2}, \mathbf{u}_{3}\right] e F=\{(x, y, z) / x+y+z=0\} subespaços de \mathbf{R}^{\mathbf{3}}.
(a) Encontre uma base e a dimensão de E.
(b) Encontre uma base e a dimensão de F.
(c) Encontre uma base e a dimensão de E \cap F.
(d) Encontre um subespaço G tal que E \oplus G=\mathbb{R}^{3}
(e) Encontre um subespaço H tal que F \oplus H=\mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado define
E=\span\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\} com \mathbf{u}_{1}=(1,0,-1), \mathbf{u}_{2}=(1,2,1), \mathbf{u}_{3}=(0,1,1), e
F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+z=0\}.
Precisamos achar base e dimensão de E e de F, depois de E\cap F, e em seguida subespaços complementares G e H tais que
E\oplus G=\mathbb{R}^3 e F\oplus H=\mathbb{R}^3.

Passo 2

Para achar \dim E\) e uma base, verificamos dependência linear de \(\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2},\mathbf{u}_{3}\). Procuramos \(a,b,c\) tais que \[a\mathbf{u}_{1}+b\mathbf{u}_{2}+c\mathbf{u}_{3}=(0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+b+0c=0,\\\\ 0a+2b+1c=0,\\\\ - a+b+1c=0. \end{cases}
Da primeira equação a=-b\]. Da segunda \(c=-2b. A terceira fica -(-b)+b+(-2b)=0, que é 0=0. Logo há uma relação não trivial e o posto é 2. Podemos escolher por exemplo \mathbf{u}_{1} e \mathbf{u}_{2} como base de E, pois são independentes. Assim
\dim E=2, \quad \text{base de }E=\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\}.

Passo 3

O subespaço F é o plano dado por x+y+z=0. Podemos parametrizar
(x,y,z)=(s,t,-s-t)=s(1,0,-1)+t(0,1,-1).
Logo
\dim F=2, \quad \text{base de }F=\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.

Passo 4

Para E\cap F buscamos vetores v\in E que satisfazem x+y+z=0. Todo v\in E é da forma
v=\alpha\,\mathbf{u}_{1}+\beta\,\mathbf{u}_{2} =(\alpha+\beta,\;2\beta,\;-\alpha+\beta).
Impondo \alpha+\beta+2\beta+(-\alpha+\beta)=0 4\beta=0, logo \beta=0. Assim v=\alpha\,\mathbf{u}_{1}. Como \mathbf{u}_{1} já satisfaz 1+0+(-1)=0, concluímos
\dim(E\cap F)=1, \quad \text{base de }E\cap F=\{\mathbf{u}_{1}\}.

Passo 5

Para achar G com E\oplus G=\mathbb{R}^3, basta escolher um vetor fora de E. Por exemplo w=(0,1,0) não pertence a E. Então
G=\span\{(0,1,0)\}
é um complemento de dimensão 1 e E\oplus G=\mathbb{R}^3.

Passo 6

De modo análogo, para H com F\oplus H=\mathbb{R}^3 escolhemos um vetor fora de F. Por exemplo v=(1,0,0) não satisfaz x+y+z=0 exceto para o zero. Assim
H=\span\{(1,0,0)\}
é complemento e F\oplus H=\mathbb{R}^3.

Resposta

(a) \dim E=2, base de E=\{\mathbf{u}_{1},\mathbf{u}_{2}\}.
(b) \dim F=2, base de F=\{(1,0,-1),(0,1,-1)\}.
(c) \dim(E\cap F)=1, base de E\cap F=\{\mathbf{u}_{1}\}.
(d) G=\span\{(0,1,0)\}.
(e) H=\span\{(1,0,0)\}.

Exercícios relacionados