Seja V_{2}(\mathbb{R}).
Sejam bases ordenadas \mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\}, \mathcal{B}^{\prime}=\{(2,1),(-4,1)\} de V_{2}(\mathbb{R}). Obtenha P_{\mathcal{B}^{\prime} \mathcal{B}} e P_{\mathcal{B B}^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial \mathbb{R}^2 com duas bases ordenadas
\mathcal{B}=\{(-4,3),(2,-1)\} e \mathcal{B}'=\{(2,1),(-4,1)\}.
Queremos a matriz de mudança de coordenadas
P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}} que leva coordenadas em \mathcal{B} para coordenadas em \mathcal{B}', e a inversa P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'}.

Passo 2

Seja M a matriz cujas colunas são os vetores de \mathcal{B} em coordenadas canônicas, e N a matriz cujas colunas são os vetores de \mathcal{B}' em coordenadas canônicas. Então vale a fórmula
P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}} \;=\; N^{-1}\,M,
e como P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'} é a inversa de P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}}, podemos obtê-la também por
P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'} \;=\; M^{-1}\,N.

Passo 3

Escrevendo explicitamente
M \;=\;\begin{pmatrix}-4 & 2\\[6pt]3 & -1\end{pmatrix}, \qquad N \;=\;\begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculamos o determinante de N:
\det(N)=2\cdot1-(-4)\cdot1=6.
Logo
N^{-1}=\frac1{6}\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicando
P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}} = N^{-1}M = \frac1{6}\begin{pmatrix}1 & 4\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4 & 2\\[4pt]3 & -1\end{pmatrix} = \frac1{6}\begin{pmatrix}8 & -2\\[4pt]10 & -4\end{pmatrix},
portanto
P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}} =\begin{pmatrix}4/3 & -1/3\\[4pt]5/3 & -2/3\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'} usamos
\det(M)=(-4)(-1)-2\cdot3=-2, \qquad M^{-1}=\frac1{-2}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]-3 & -4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/2 & 1\\[4pt]3/2 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Finalmente
P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'} = M^{-1}N =\begin{pmatrix}1/2 & 1\\[4pt]3/2 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & -4\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & -4\end{pmatrix}.]

Resposta

P_{\mathcal{B}'\!\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}4/3 & -1/3\\[4pt]5/3 & -2/3\end{pmatrix}
P_{\mathcal{B}\!\mathcal{B}'}=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]5 & -4\end{pmatrix}]

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