Questão 4 (9 pontos). Considere o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}2 x+a y+2 z=4 \\\\ 3 x+a y+3 z=5 \\\\ 5 x+a z=5\end{array}\right..
(a) Determine os valores possíveis de a para que o sistema tenha solução única.
(b) Substitua a=2 e encontre a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em três incógnitas x,y,z\) com parâmetro \(a\): \[\begin{cases} 2x + a y + 2z = 4,\\\\ 3x + a y + 3z = 5,\\\\ 5x + a z = 5. \end{cases}
O conteúdo aqui é teste de determinante para solução única e, em seguida, solução do sistema por eliminação quando (a=2].

Passo 2

Para ter solução única, o determinante da matriz dos coeficientes não pode ser zero. A matriz é
A = \begin{pmatrix} 2 & a & 2\\\\ 3 & a & 3\\\\ 5 & 0 & a \end{pmatrix}.
Calculamos
\det(A) = 2\begin{vmatrix}a&3\\\ 0&a\end{vmatrix} - a\begin{vmatrix}3&3\\\ 5&a\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix}3&a\\\ 5&0\end{vmatrix} = 2(a^2) - a(3a-15) + 2(-5a) = -a^2 + 5a.

Passo 3

Impondo \det(A)\neq0, temos
-a^2 + 5a \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\,(5 - a)\neq0 \quad\Longleftrightarrow\quad a\neq0,\;a\neq5.

Passo 4

Agora tome a=2. O sistema fica
\begin{cases} 2x + 2y + 2z = 4,\\\\ 3x + 2y + 3z = 5,\\\\ 5x + 2z = 5. \end{cases}
Da terceira equação isolamos
2z = 5 - 5x \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{5-5x}{2}.

Passo 5

Substituímos esse z nas duas primeiras equações.
Da primeira:
2x + 2y + 2\Bigl(\frac{5-5x}{2}\Bigr)=4 \quad\Longrightarrow\quad x + y + \frac{5-5x}{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad y = 2 - x - \frac{5-5x}{2}.
Da segunda:
3x + 2y + 3\Bigl(\frac{5-5x}{2}\Bigr)=5.
Substituindo y e simplificando, chega-se a x=1. Então
z = \frac{5-5\cdot1}{2} = 0, \quad y = 2 - 1 - 0 = 1.

Resposta

(a) O sistema tem solução única se, e somente se, a \neq 0 e a \neq 5.
(b) Para a=2, a solução é (x,y,z) = (1,\,1,\,0).

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