Questão 1 ( 35 pts )
Seja a função .
(a) (10 pts) Sabendo-se que obtivemos a partir de pelo método de Newton. Determinar o valor de .
Solução:
Usando a fórmula do método de Newton . Assim: , então .
(b) (05 pts) Usando o valor obtido em (a), verificar que possui uma única raiz no intervalo .
Solução:
Como , então e , portanto . Para verificar que o zero é único, vamos analisar a derivada , para todo , portanto .
(c) (10 pts) Usando o valor obtido em (a), calcule o valor aproximado de usando o método da Posição Falsa com .
Solução:
Usamos a fórmula:
0
0
0.1818
1
-2
-0.1760
9
0.8182
1
0.1818
0.1975
1
-0.1760
-0.0173
9
0.8025 (5 pts)
Como então (3pts)
(d) (10 pts) Usando o valor obtido em (a), calcule o valor aproximado de usando o método de Newton com a condição inicial e e com precissōes .
Solução:
0
0
-2
-10
-
1
0.2
0.0080
10.12
0.2
2
0.19921
0.000006
10.1191
0.0008 (5 pts)
Como entāo (3 pts).
Passo 1
O enunciado trata de encontrar a constante para que, aplicando o método de Newton à função
com ponto inicial , obtenhamos . Em seguida, com esse valor de , devemos:
– (b) mostrar que há uma única raiz em usando teorema do valor intermediário e monotonicidade;
– (c) aproximar a raiz por Posição Falsa até ;
– (d) aproximar por Newton com até .
Passo 2
Para (a), usamos a iteração de Newton
onde
Logo
Como nos deram , temos
Passo 3
Para (b), com a função fica
Calculamos
logo , garantindo ao menos uma raiz em . Como
é estritamente crescente em e, portanto, essa raiz é única no intervalo.
Passo 4
Para (c), aplicamos o método da Posição Falsa em com tolerâncias . A cada iteração:
Iteração 0:
Iteração 1:
Como , paramos e tomamos
barxPF=x1approx0,1975
Passo 5
Para (d), aplicamos Newton com x0=0 e epsilon1=epsilon2=0,001.
Iteração 1: