Questão 1 ( 35 pts )
Seja a função .
(a) (10 pts) Sabendo-se que obtivemos a partir de pelo método de Newton. Determinar o valor de .
Solução:
Usando a fórmula do método de Newton . Assim: , então .
(b) (05 pts) Usando o valor obtido em (a), verificar que possui uma única raiz no intervalo .
Solução:
Como , então e , portanto . Para verificar que o zero é único, vamos analisar a derivada , para todo , portanto .
(c) (10 pts) Usando o valor obtido em (a), calcule o valor aproximado de usando o método da Posição Falsa com .
Solução:
Usamos a fórmula:
0 0 0.1818 1 -2 -0.1760 9 0.8182
1 0.1818 0.1975 1 -0.1760 -0.0173 9 0.8025 (5 pts)
Como então (3pts)
(d) (10 pts) Usando o valor obtido em (a), calcule o valor aproximado de usando o método de Newton com a condição inicial e e com precissōes .
Solução:
0 0 -2 -10 -
1 0.2 0.0080 10.12 0.2
2 0.19921 0.000006 10.1191 0.0008 (5 pts)
Como entāo (3 pts).

Passo 1

O enunciado trata de encontrar a constante ,a para que, aplicando o método de Newton à função
f(x)=x^3-a,x-2
com ponto inicial x0=0, obtenhamos x1=0,2. Em seguida, com esse valor de a, devemos:
– (b) mostrar que há uma única raiz em [0,1] usando teorema do valor intermediário e monotonicidade;
– (c) aproximar a raiz por Posição Falsa até epsilon1=epsilon2=0,02;
– (d) aproximar por Newton com x0=0 até epsilon1=epsilon2=0,001.

Passo 2

Para (a), usamos a iteração de Newton
xn+1=xn-f(xn)f'(xn),
onde
f(0)=-2, f'(x)=3x^2-a;Longrightarrow;f'(0)=-a
Logo
x1 =0-f(0)f'(0) =--2-a =-2a
Como nos deram x1=0,2, temos
-2a=0,2 Longrightarrow a=-20,2=-10

Passo 3

Para (b), com a=-10 a função fica
f(x)=x^3+10x-2
Calculamos
f(0)=-2, f(1)=1+10-2=9,
logo f(0)f(1)<0, garantindo ao menos uma raiz em [0,1]. Como
f'(x)=3x^2+10>0forall x,
f é estritamente crescente em R e, portanto, essa raiz é única no intervalo.

Passo 4

Para (c), aplicamos o método da Posição Falsa em [a0,b0]=[0,1] com tolerâncias epsilon1=epsilon2=0,02. A cada iteração:
xn =an,f(bn)-bn,f(an)f(bn)-f(an)
Iteração 0:
a0=0,;b0=1,; f(a0)=-2,;f(b0)=9,
x0=0cdot9-1cdot(-2)9-(-2) =211approx0,1818, f(x0)approx-0,1760
Iteração 1:
a1=0,1818,;b1=1,; f(a1)approx-0,1760,;f(b1)=9,
x1 =0,1818cdot9 - 1cdot(-0,1760)9-(-0,1760) approx0,1975, f(x1)approx-0,0173
Como l|f(x1)r|=0,0173<epsilon2, paramos e tomamos
barxPF=x1approx0,1975

Passo 5

Para (d), aplicamos Newton com x0=0 e epsilon1=epsilon2=0,001.
Iteração 1:
x1 =0-f(0)f'(0) =0--210 =0,2, f(x1)=0,0080,; f'(x1)=3(0,2)^2+10=10,12
Iteração 2:
x2 =0,2-0,008010,12 approx0,19921,
f(x2)approx6times10^-6, |x2-x1|approx0,00079<0,001
Como ambas as tolerâncias são satisfeitas,
barxNewton=x2approx0,1992

Resposta

(a) a=-10.
(b) Há uma única raiz em [0,1] porque f(0)f(1)<0 e f'(x)>0.
(c) Posição Falsa: barxapprox0,1975.
(d) Newton: barxapprox0,1992.

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