Seja
a superfície que é a parte do gráfico de
, acima do plano xy e incluindo a intersecção com o plano
. Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro, para o cálculo de integral de linha do campo vetorial
, seguindo os seguintes passos:
I.
Determine o valor da integral de linha
. Analise a possibilidade ou não de utilizar o Teorema de Green e utilize-o apenas se for para facilitar as contas efetuadas (é opcional);
II.
Determine o valor da integral de superfície do campo vetorial
. Não se esqueça de que para este cálculo, é necessário considerar a direção da superfície
, através do vetor normal, isto é, usando uma das definições de integrais de superfícies sobre campos vetoriais:
i.
, ou:
ii.
I.
II.
i.
ii.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
definida por
acima do plano
, cujo contorno
é o círculo
no plano
. O objetivo é verificar o Teorema de Stokes mostrando que
para o campo
. Vamos precisar parametrizar
para a integral de linha e usar a fórmula de superfície para gráfico
para a integral de superfície.
Passo 2
Para
parametrizamos
Então
Logo,
Integrando de
a
:
Passo 3
Calculamos
. Com
,
,
temos
Passo 4
Para a integral de superfície usamos a fórmula para gráfico
:
em que
e agora
são os componentes de
. Calculamos
O domínio
é o disco
. Como
, resta
Resposta
Ambas as integrais são iguais a
, confirmando o Teorema de Stokes.