(2,0) Seja S a superfície que é a parte do gráfico de z=9-x^2-y^2, acima do plano xy e incluindo a intersecção com o plano z=0. Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro, para o cálculo de integral de linha do campo vetorial F(x, y, z)=3 zi+4 xj+2 yk, seguindo os seguintes passos:
I. (1,0) Determine o valor da integral de linha ointC F d r. Analise a possibilidade ou não de utilizar o Teorema de Green e utilize-o apenas se for para facilitar as contas efetuadas (é opcional);
II. (1,0) Determine o valor da integral de superfície do campo vetorial integral duplaS rot F d S. Não se esqueça de que para este cálculo, é necessário considerar a direção da superfície S, através do vetor normal, isto é, usando uma das definições de integrais de superfícies sobre campos vetoriais:
i. integral duplaS F d S=integral duplaR F(ru times rv) d A, ou:
ii. integral duplaS F d S=integral duplaR-P partial gpartial x-Q partial gpartial y+R d A

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície S definida por
z=9 - x^2 - y^2
acima do plano z=0, cujo contorno C é o círculo
x^2 + y^2 = 9
no plano xy. O objetivo é verificar o Teorema de Stokes mostrando que
ointC Fcdot d r ;=;integral duplaS (nablatimes F)cdot d S,
para o campo F=(3z,,4x,,2y). Vamos precisar parametrizar C para a integral de linha e usar a fórmula de superfície para gráfico z=g(x,y) para a integral de superfície.

Passo 2

Para ointC Fcdot d r parametrizamos
r(t)=(3cos t,,3sin t,,0), 0<= t<=2pi
Então
d r=(-3sin t,,3cos t,,0),dt, F( r(t))=(0,,12cos t,,6sin t)
Logo,
Fcdot d r =36cos^2 t,dt
Integrando de 0 a 2pi:
ointC Fcdot d r =integral0^2pi36cos^2 t,dt =36pi

Passo 3

Calculamos nablatimes F. Com P=3z, Q=4x, R=2y temos
nablatimes F =l(partialy R-partialz Q,;partialz P-partialx R,;partialx Q-partialy Pr) =(2,,3,,4)

Passo 4

Para a integral de superfície usamos a fórmula para gráfico z=g(x,y):
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaRl(-P,gx -Q,gy +Rr),dA,
em que g(x,y)=9-x^2-y^2 e agora P,Q,R são os componentes de nablatimes F. Calculamos
gx=-2x, gy=-2y,
-,P,gx -Q,gy +R = -2cdot(-2x) -3cdot(-2y) +4 =4x+6y+4
O domínio R é o disco x^2+y^2<=9. Como integral duplaR x,dA=integral duplaR y,dA=0, resta
integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaR4,dA =4cdot(picdot3^2) =36pi

Resposta

Ambas as integrais são iguais a 36pi, confirmando o Teorema de Stokes.

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