Questão 39 (ENA-PROFMAT-2012). Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
- O enunciado fala de “todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos”.
- Existem exatamente cinco algarismos ímpares no sistema decimal:
. Para ter exatamente cinco algarismos ímpares distintos, o número deve usar esses cinco algarismos, cada um uma vez. - Portanto estamos considerando todos os números de cinco dígitos formados por permutações dos dígitos
. - A pergunta é: qual é a soma de todos esses números?
Passo 2
Contar quantos números existem e entender a estrutura das permutações.
- O número de permutações dos cinco dígitos distintos é
. - Calcule:
- Logo existem
números (todas as permutações de ).
Passo 3
Argumento de simetria: com que frequência cada dígito aparece em cada posição (unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de mil).
- Fixe uma posição decimal qualquer (por exemplo, a casa das centenas). Se eu quero que o dígito
ocupe essa posição, os outros dígitos podem ser permutados livremente nas restantes posições. Isso dá permutações com naquela posição. - Logo cada dígito aparece exatamente
vezes em cada posição. - Calcule:
Passo 4
Calcular a soma dos dígitos que aparecem numa posição e a soma total por posição.
- A soma dos cinco dígitos é
- Como cada um desses dígitos aparece
vezes numa dada posição, a soma dos valores dos dígitos naquela posição, ao somar sobre todos os números, é
- Isso significa: somando todos os algarismos que ocupam, por exemplo, a casa das unidades ao longo dos
números obtém-se ; o mesmo vale para a casa das dezenas, centenas, milhares e dezenas de mil.
Passo 5
Converter a soma por posição em contribuição para a soma dos números (usando os valores das posições).
- A contribuição monetária de cada posição é o seu valor de lugar: unidades
, dezenas , centenas , milhares , dezenas de mil . - A soma total de todos os números é, portanto,
- Calcule a soma geométrica dos fatores de posição:
- Portanto
Passo 6
Fazer a multiplicação final (passo a passo para não depender de calculadora).
- Primeiro calcule
:
- Agora multiplique por
(pois ):
- Logo
Passo 7
Resumo didático rápido (exemplo menor para fixar a ideia).
- Se em vez de
dígitos tivéssemos só , haveria números. Cada dígito apareceria vezes em cada posição. A soma por posição seria . A soma total seria . Este mini-exemplo mostra o mesmo raciocínio aplicado em menor escala.