Questão 39 (ENA-PROFMAT-2012). Considere todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos. Qual é o valor da soma desses números?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e o que ele dá.
  • O enunciado fala de “todos os números inteiros positivos escritos com exatamente cinco algarismos ímpares distintos”.
  • Existem exatamente cinco algarismos ímpares no sistema decimal: 1,3,5,7,9. Para ter exatamente cinco algarismos ímpares distintos, o número deve usar esses cinco algarismos, cada um uma vez.
  • Portanto estamos considerando todos os números de cinco dígitos formados por permutações dos dígitos \{1,3,5,7,9\}.
  • A pergunta é: qual é a soma de todos esses números?

Passo 2

Contar quantos números existem e entender a estrutura das permutações.
  • O número de permutações dos cinco dígitos distintos é 5!.
  • Calcule:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
  • Logo existem 120 números (todas as permutações de 1,3,5,7,9).

Passo 3

Argumento de simetria: com que frequência cada dígito aparece em cada posição (unidades, dezenas, centenas, milhares, dezenas de mil).
  • Fixe uma posição decimal qualquer (por exemplo, a casa das centenas). Se eu quero que o dígito d\in\{1,3,5,7,9\} ocupe essa posição, os outros 4 dígitos podem ser permutados livremente nas restantes 4 posições. Isso dá (5-1)!=4! permutações com d naquela posição.
  • Logo cada dígito aparece exatamente 4! vezes em cada posição.
  • Calcule:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.

Passo 4

Calcular a soma dos dígitos que aparecem numa posição e a soma total por posição.
  • A soma dos cinco dígitos é
1+3+5+7+9 = 25.
  • Como cada um desses dígitos aparece 24 vezes numa dada posição, a soma dos valores dos dígitos naquela posição, ao somar sobre todos os 120 números, é
24 \cdot 25 = 600.
  • Isso significa: somando todos os algarismos que ocupam, por exemplo, a casa das unidades ao longo dos 120 números obtém-se 600; o mesmo vale para a casa das dezenas, centenas, milhares e dezenas de mil.

Passo 5

Converter a soma por posição em contribuição para a soma dos números (usando os valores das posições).
  • A contribuição monetária de cada posição é o seu valor de lugar: unidades \rightarrow 1, dezenas \rightarrow 10, centenas \rightarrow 100, milhares \rightarrow 1000, dezenas de mil \rightarrow 10000.
  • A soma total de todos os números é, portanto,
600\cdot(1+10+100+1000+10000).
  • Calcule a soma geométrica dos fatores de posição:
1+10+100+1000+10000 = 11111.
  • Portanto
\text{Soma total} = 600\cdot11111.

Passo 6

Fazer a multiplicação final (passo a passo para não depender de calculadora).
  • Primeiro calcule 11111\cdot6:
11111\cdot6 = 66666.
  • Agora multiplique por 100 (pois 600 = 6\cdot100):
66666\cdot100 = 6666600.
  • Logo
600\cdot11111 = 6666600.

Passo 7

Resumo didático rápido (exemplo menor para fixar a ideia).
  • Se em vez de 5 dígitos tivéssemos só \{1,3,5\}, haveria 3!=6 números. Cada dígito apareceria (3-1)!=2 vezes em cada posição. A soma por posição seria 2\cdot(1+3+5)=2\cdot9=18. A soma total seria 18\cdot(1+10+100)=18\cdot111=1998. Este mini-exemplo mostra o mesmo raciocínio aplicado em menor escala.

Resposta

6666600

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