QUESTÃO 36
Se P(x)=x^4-4 x^3+6 x^2-4 x+1 e i^2=-1, então qual o valor P(1+i) ?
(A) -1
(B) 1+
© 1-i
(D) 2+i
(E) 1

Passo 1

Beleza, a questão diz que

e que . O objetivo é achar .
O que vamos usar aqui é:
  • Polinômios (avaliar um valor em um polinômio)
  • Números complexos (propriedade )
  • Teorema do Binômio de Newton

Passo 2

O Teorema do Binômio de Newton diz que para todo inteiro (a+b)^n = sumk=0^n binomnka^,n-kb^k e números (x-1)^4 = binom40x^4(-1)^0 + binom41x^3(-1)^1 + binom42x^2(-1)^2 + binom43x^1(-1)^3 + binom44x^0(-1)^4 :
(x-1)^4 = x^4 -4x^3 +6x^2 -4x +1,
Se a gente pegar P(x) = (x-1)^4 , e , fica:
Calculando os binomiais e sinais:
que é exatamente o nosso . Logo

Passo 3

Agora é só substituir P(1+i) = l((1+i)-1r)^4 = i^4 :
i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1
E como , temos

Resposta

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