Questão 38. Sejam A_{n} e B_{n} matrizes quadradas de ordem n, Prove que:
Se A é invertível, então A^{-1} é única.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se uma matriz A é invertível, então a sua inversa A^{-1} é única.
Informações dadas e o que isso significa explicitamente:
  • A é uma matriz quadrada (de ordem n) e é invertível.
  • Ser invertível significa que existe uma matriz B tal que A B = B A = I, onde I é a matriz identidade de ordem n.
  • A tarefa: mostrar que não podem existir duas matrizes diferentes B e C que sejam ambas inversas de A. Em outras palavras, provar que se B e C satisfazem as propriedades de inversa de A, então necessariamente B = C.

Passo 2

Vamos lembrar e explicar os conceitos e propriedades que usaremos:
  • Matriz identidade: a matriz I tem a propriedade de elemento neutro para multiplicação: para qualquer matriz quadrada M da mesma ordem vale MI = IM = M. É o análogo de multiplicar por 1 nos números.
  • Associatividade da multiplicação de matrizes: para matrizes compatíveis, vale (XY)Z = X(YZ). Não usamos comutatividade (isto é, em geral XY \neq YX para matrizes).
  • Definição de inversa (duas formas equivalentes que aparecem): uma matriz B é inversa de A se AB = I e BA = I. (Algumas vezes pode aparecer a situação de inverso à esquerda ou à direita, mas aqui assumimos o inverso usual — ambos os lados.)

Passo 3

Estratégia do raciocínio (curta, só para orientar): suponha que existam duas inversas B e C de A. Usando as propriedades acima (identidade e associatividade) vamos manipular expressões algébricas para mostrar que B e C têm que ser iguais. Não vamos usar nenhuma propriedade enganosa (como comutatividade), só associatividade e o fato de I ser neutro.

Passo 4

Suponha que B e C são inversas de A. Escrevemos explicitamente as igualdades que isso implica:
A B = I,\qquad B A = I,
A C = I,\qquad C A = I.
(Em particular, B e C são inversos à direita e à esquerda de A.)

Passo 5

Agora fazemos a conta chave, justificando cada passo:
Começamos com B. Usamos que I é neutro à direita (ou à esquerda):
B = B I.
Como A C = I, podemos substituir I por A C no lado direito:
B = B (A C).
Pela associatividade da multiplicação de matrizes podemos reagrupar:
B = (B A) C.
Mas B A = I (porque B é inversa de A), então:
B = I C.
Finalmente, I C = C (identidade à esquerda), então:
B = C.
Cada passo usou apenas: (i) a propriedade I neutro, (ii) a igualdade A C = I ou B A = I, e (iii) associatividade para mudar a ordem dos parênteses.

Passo 6

Interpretação final e observação didática: mostramos que qualquer duas matrizes B e C que satisfaçam as condições de inversa de A são necessariamente iguais. Logo não existe mais do que uma inversa de A. Essa prova é curta e não usa comutatividade — só identidades e associatividade — o que é apropriado para matrizes.
Um comentário prático: frequentemente basta assumir que uma delas é inverso à direita e a outra é inverso à esquerda (isto é, AB=I e CA=I); multiplicando AB=I à esquerda por C obtemos C(AB)=C\Rightarrow (CA)B=C\Rightarrow I B=C\Rightarrow B=C. É a mesma ideia, com menos hipóteses aparentes.

Resposta

Sejam B e C inversas de A. Então
B = B I = B(AC) = (BA)C = I C = C,
logo B=C. Portanto A^{-1} é única.

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