Questão 38. Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
, Prove que:
Se
é invertível, então
é única.
Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se uma matriz
é invertível, então a sua inversa
é única.
Informações dadas e o que isso significa explicitamente:
Informações dadas e o que isso significa explicitamente:
-
é uma matriz quadrada (de ordem ) e é invertível. - Ser invertível significa que existe uma matriz
tal que , onde é a matriz identidade de ordem . - A tarefa: mostrar que não podem existir duas matrizes diferentes
e que sejam ambas inversas de . Em outras palavras, provar que se e satisfazem as propriedades de inversa de , então necessariamente .
Passo 2
Vamos lembrar e explicar os conceitos e propriedades que usaremos:
- Matriz identidade: a matriz
tem a propriedade de elemento neutro para multiplicação: para qualquer matriz quadrada da mesma ordem vale . É o análogo de multiplicar por nos números. - Associatividade da multiplicação de matrizes: para matrizes compatíveis, vale
. Não usamos comutatividade (isto é, em geral para matrizes). - Definição de inversa (duas formas equivalentes que aparecem): uma matriz
é inversa de se e . (Algumas vezes pode aparecer a situação de inverso à esquerda ou à direita, mas aqui assumimos o inverso usual — ambos os lados.)
Passo 3
Estratégia do raciocínio (curta, só para orientar): suponha que existam duas inversas
e
de
. Usando as propriedades acima (identidade e associatividade) vamos manipular expressões algébricas para mostrar que
e
têm que ser iguais. Não vamos usar nenhuma propriedade enganosa (como comutatividade), só associatividade e o fato de
ser neutro.
Passo 4
Suponha que
e
são inversas de
. Escrevemos explicitamente as igualdades que isso implica:
(Em particular,
e
são inversos à direita e à esquerda de
.)
Passo 5
Agora fazemos a conta chave, justificando cada passo:
Começamos com . Usamos que
é neutro à direita (ou à esquerda):
Começamos com
Como
, podemos substituir
por
no lado direito:
Pela associatividade da multiplicação de matrizes podemos reagrupar:
Mas
(porque
é inversa de
), então:
Finalmente,
(identidade à esquerda), então:
Cada passo usou apenas: (i) a propriedade
neutro, (ii) a igualdade
ou
, e (iii) associatividade para mudar a ordem dos parênteses.
Passo 6
Interpretação final e observação didática: mostramos que qualquer duas matrizes
e
que satisfaçam as condições de inversa de
são necessariamente iguais. Logo não existe mais do que uma inversa de
. Essa prova é curta e não usa comutatividade — só identidades e associatividade — o que é apropriado para matrizes.
Um comentário prático: frequentemente basta assumir que uma delas é inverso à direita e a outra é inverso à esquerda (isto é,
e
); multiplicando
à esquerda por
obtemos
. É a mesma ideia, com menos hipóteses aparentes.
Resposta
Sejam
e
inversas de
. Então
logo
. Portanto
é única.