Questão 37. Sabendo que x+\frac{1}{\mathrm{x}}=2, pode-se afirmar que:
c) x^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}^{3}}=1

Passo 1

O enunciado dá a informação \displaystyle x+\frac{1}{\mathrm{x}}=2 e pede para verificar a afirmação \displaystyle x^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}^{3}}=1.
Informações relevantes:
  • Temos a equação \displaystyle x+\frac{1}{x}=2.
  • Implicitamente \displaystyle x\neq 0 porque aparece \displaystyle \frac{1}{x}.
  • A tarefa é determinar se a igualdade proposta para \displaystyle x^{3}+\frac{1}{x^{3}} é verdadeira e, se não, encontrar o valor correto.

Passo 2

Método direto: encontrar x a partir de \displaystyle x+\frac{1}{x}=2. Multiplico ambos os lados por x (válido porque x\neq 0):
x\left(x+\frac{1}{x}\right)=x\cdot 2
o que dá
x^{2}+1=2x.
Reescrevo em forma de equação quadrática:
x^{2}-2x+1=0.
Reconheço o quadrado perfeito no lado esquerdo:
(x-1)^{2}=0.
Portanto
x=1
(com multiplicidade 2). Então a única solução real para x é \displaystyle x=1.

Passo 3

Agora calculo diretamente \displaystyle x^{3}+\frac{1}{x^{3}} usando \displaystyle x=1:
x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=1^{3}+\frac{1}{1^{3}}=1+1=2.
Logo o valor correto dessa expressão, para a x que satisfaz a equação dada, é 2, não 1.

Passo 4

Método alternativo (útil em provas quando não queremos resolver para x): usar identidade algébrica para cubos. Expando \displaystyle\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3} por binômio:
\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3} = x^{3}+3x^{1}\cdot\frac{1}{x}+3x\cdot\frac{1}{x^{1}}+\frac{1}{x^{3}} = x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3\left(x+\frac{1}{x}\right).
Isolando \displaystyle x^{3}+\frac{1}{x^{3}} temos
x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}-3\left(x+\frac{1}{x}\right).
Substituo \displaystyle x+\frac{1}{x}=2:
x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=2^{3}-3\cdot 2=8-6=2,
confirmando o resultado do passo anterior.

Resposta

Falso — x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=2

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