Questão 37. Sabendo que x+\frac{1}{\mathrm{x}}=2, pode-se afirmar que:
a) x^{2}+\frac{1}{\mathrm{x}^{2}}=1

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \,x+\frac{1}{x}=2\, e pergunta se podemos afirmar que \,x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=1\,. Informações explícitas: x é uma variável real (implícito) e x\neq0 (porque aparece \frac{1}{x}). A pergunta é apenas sobre a veracidade da expressão dada na alternativa (a).

Passo 2

Vamos usar uma identidade algébrica simples para transformar a informação dada em algo que envolva \,x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\,. A identidade que precisamos é a do quadrado da soma:
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Aqui escolhemos a=x e b=\frac{1}{x}. Substituindo na identidade obtemos:
\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}.
Note que x\cdot\frac{1}{x}=1 (desde que x\neq0), então a expressão do meio vale 2.

Passo 3

Agora aplicamos o que foi dado: \,x+\frac{1}{x}=2\,. Elevando ambos os lados ao quadrado:
\left(x+\frac{1}{x}\right)^2 = 2^2 = 4.
Pelo desenvolvimento do Passo 2 isso é igual a
x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 4.
Subtraindo 2 de ambos os lados vem
x^2 + \frac{1}{x^2} = 2.
Portanto a expressão sugerida na alternativa (a), que dizia ser igual a 1, está incorreta: o valor correto é 2.

Passo 4

Para reforçar, resolvemos a equação original para ver os possíveis valores de x. Multiplicando \,x+\frac{1}{x}=2\, por x (válido porque x\neq0):
x^2 + 1 = 2x.
Rearranjando:
x^2 - 2x + 1 = 0,
que é um quadrado perfeito:
(x-1)^2 = 0.
Logo x=1 é a única solução real. Substituindo x=1 em x^2+\frac{1}{x^2} temos 1^2 + 1^2 = 2, confirmando o resultado do Passo 3.

Passo 5

Dica prática para prova: se s = x + \frac{1}{x}, então sempre vale a fórmula
x^2 + \frac{1}{x^2} = s^2 - 2.
Assim, com s=2 já vemos diretamente que x^2 + \frac{1}{x^2}=2^2-2=2. Exemplo extra: se x+\frac{1}{x}=3, então x^2+\frac{1}{x^2}=3^2-2=7.

Resposta

a) Falsa — \,x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=2\,

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