Questão 98. Qual o coeficiente de
no desenvolvimento de
em potências decrescentes de
?
Passo 1
O enunciado pede: qual o coeficiente de
na expansão de
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O polinômio cujo expoente é
é . - Quer-se especificamente o coeficiente do termo
após expandir tudo em potências de .
Passo 2
Observação útil (sem resolver ainda): é possível reconhecer uma identidade notável no polinômio interno. Vou mostrar isso no passo seguinte e, a partir daí, usar uma ferramenta padrão para expandir potências de soma: o Teorema Binomial. Vou explicar o Teorema Binomial porque ele é a chave para achar coeficientes em desenvolvimentos como este.
O Teorema Binomial diz que, para inteiros
,
onde
é o coeficiente binomial. Na forma usual quando se escreve em potências de
,
Aqui
é o expoente total,
é o expoente de
no termo considerado, e
é precisamente o coeficiente que multiplica
.
Passo 3
Mostrar a identidade notável: expandindo
temos
Portanto o polinômio dentro do parênteses do enunciado é exatamente
. Logo
Passo 4
Agora a tarefa virou: encontrar o coeficiente de
em
. Pelo Teorema Binomial, a expansão é
Assim, o coeficiente de
é
. Note que
por simetria dos coeficientes binomiais; escolher
elementos entre
é o mesmo que escolher os
que ficam de fora.
Passo 5
Calcular
de forma manual e organizada (sem cair em números gigantescos desnecessários):
Uma forma prática é multiplicar passo a passo simplificando a cada fração:
Em cada etapa foi feita divisão exata quando possível para manter inteiros e evitar erros de arredondamento. O resultado final é
.]