Questão 98. Qual o coeficiente de x^{12} no desenvolvimento de \left(x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\right)^{7} em potências decrescentes de x ?

Passo 1

O enunciado pede: qual o coeficiente de x^{12} na expansão de \left(x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\right)^{7}.
Informações relevantes dadas:
  • O polinômio cujo expoente é 7 é x^{3}+3 x^{2}+3 x+1.
  • Quer-se especificamente o coeficiente do termo x^{12} após expandir tudo em potências de x.

Passo 2

Observação útil (sem resolver ainda): é possível reconhecer uma identidade notável no polinômio interno. Vou mostrar isso no passo seguinte e, a partir daí, usar uma ferramenta padrão para expandir potências de soma: o Teorema Binomial. Vou explicar o Teorema Binomial porque ele é a chave para achar coeficientes em desenvolvimentos como este.
O Teorema Binomial diz que, para inteiros n\ge0,
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{k}b^{n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial. Na forma usual quando se escreve em potências de x,
(x+1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{k}.
Aqui n é o expoente total, k é o expoente de x no termo considerado, e \binom{n}{k} é precisamente o coeficiente que multiplica x^{k}.

Passo 3

Mostrar a identidade notável: expandindo (x+1)^3 temos
(x+1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1.
Portanto o polinômio dentro do parênteses do enunciado é exatamente (x+1)^3. Logo
\left(x^{3}+3 x^{2}+3 x+1\right)^{7} = \big((x+1)^3\big)^{7} = (x+1)^{21}.

Passo 4

Agora a tarefa virou: encontrar o coeficiente de x^{12} em (x+1)^{21}. Pelo Teorema Binomial, a expansão é
(x+1)^{21}=\sum_{k=0}^{21}\binom{21}{k}x^{k}.
Assim, o coeficiente de x^{12} é \binom{21}{12}. Note que \binom{21}{12}=\binom{21}{9} por simetria dos coeficientes binomiais; escolher 12 elementos entre 21 é o mesmo que escolher os 9 que ficam de fora.

Passo 5

Calcular \binom{21}{9} de forma manual e organizada (sem cair em números gigantescos desnecessários):
\binom{21}{9}=\frac{21\cdot20\cdot19\cdot18\cdot17\cdot16\cdot15\cdot14\cdot13}{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Uma forma prática é multiplicar passo a passo simplificando a cada fração:
\begin{aligned} &1\cdot\frac{21}{1}=21,\\[4pt] &21\cdot\frac{20}{2}=21\cdot10=210,\\[4pt] &210\cdot\frac{19}{3}=70\cdot19=1330,\\[4pt] &1330\cdot\frac{18}{4}=1330\cdot\frac{9}{2}=665\cdot9=5985,\\[4pt] &5985\cdot\frac{17}{5}=1197\cdot17=20349,\\[4pt] &20349\cdot\frac{16}{6}=20349\cdot\frac{8}{3}=6783\cdot8=54264,\\[4pt] &54264\cdot\frac{15}{7}=7752\cdot15=116280,\\[4pt] &116280\cdot\frac{14}{8}=116280\cdot\frac{7}{4}=29070\cdot7=203490,\\[4pt] &203490\cdot\frac{13}{9}=22610\cdot13=293930. \end{aligned}
Em cada etapa foi feita divisão exata quando possível para manter inteiros e evitar erros de arredondamento. O resultado final é \binom{21}{9}=293930.]

Resposta

\,293930

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