Questão 37. Sabendo que x+\frac{1}{\mathrm{x}}=2, pode-se afirmar que:
d) x^{3}+\frac{1}{\mathrm{x}^{3}}=0

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \,x+\frac{1}{x}=2\, e pergunta se, a partir disso, podemos afirmar a proposição (d) \,x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=0\,.
Informações relevantes dadas:
  • \,x+\frac{1}{x}=2\,.
  • Presume-se \,x\neq 0\, (porque aparece \frac{1}{x}).
    O que devemos decidir: verificar se a igualdade \,x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=0\, é verdadeira sob a hipótese dada.

Passo 2

Primeira observação importante (domínio): sempre que aparece \frac{1}{x} temos que exigir \,x\neq 0\,. Então estamos trabalhando com x diferente de zero.

Passo 3

Vou usar uma identidade algébrica útil e geral que aparece muito em provas: a expansão do cubo de uma soma. Para quaisquer números a e b vale
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Aqui vou aplicar com a=x e b=\dfrac{1}{x}. Note que a b = x\cdot \dfrac{1}{x}=1. Substituindo temos:
\left(x+\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + 3x^2\cdot\frac{1}{x} + 3x\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^2 + \frac{1}{x^3}.
Agora simplifico os termos centrais: 3x^2\cdot\frac{1}{x}=3x e 3x\cdot\left(\frac{1}{x}\right)^2=3\frac{1}{x}. Assim
\left(x+\frac{1}{x}\right)^3 = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\left(x+\frac{1}{x}\right).

Passo 4

Da identidade anterior isolamos a soma cúbica desejada:
x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x+\frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x+\frac{1}{x}\right).
Isto é útil porque já sabemos o valor de \,x+\frac{1}{x}.

Passo 5

Substituindo \,x+\frac{1}{x}=2\, na fórmula:
x^3 + \frac{1}{x^3} = 2^3 - 3\cdot 2 = 8 - 6 = 2.
Portanto, a soma cúbica vale \,2, não 0.

Passo 6

Fazendo uma verificação alternativa (para fixar a ideia): podemos multiplicar \,x+\frac{1}{x}=2\, por x (lembrando x\neq0) e obter
x^2 + 1 = 2x \quad\Rightarrow\quad x^2 - 2x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)^2=0,
logo x=1. Substituindo x=1 em \,x^3+\frac{1}{x^3} 1^3 + 1^3 = 2, consistente com o cálculo anterior.

Resposta

Não. x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=2

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