Questão 42. Considere a sequência oscilante: 1,2,3, 4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4, \ldots
O 2003^{\circ} termo desta sequência é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4

Passo 1

O enunciado apresenta a sequência oscilante cujos termos iniciais são 1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,\ldots e pergunta qual é o 2003^{\circ} termo dessa sequência. As alternativas são:
a) 1 \n b) 2 \n c) 3 \n d) 4.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os primeiros termos da sequência foram fornecidos explicitamente (eu usei esses termos acima).
  • Precisamos encontrar o termo de índice 2003.

Passo 2

Vamos olhar com atenção para os termos fornecidos e tentar ver um padrão repetitivo. Pegando os primeiros oito termos temos:
1,2,3,4,5,4,3,2.
Em seguida, os termos 9 a 16 que aparecem no enunciado são exatamente os mesmos:
1,2,3,4,5,4,3,2.
Portanto, a sequência repete esse bloco de oito termos. Eu identifiquei o bloco repetitivo a partir dos termos que você deu no enunciado.

Passo 3

Explicando o conceito usado: quando uma sequência tem um bloco que se repete a cada p termos (aqui p=8), dizemos que ela é periódica de período p. Isso significa que o termo de índice n é igual ao termo de índice n+p, n+2p, etc. Para achar um termo de índice grande, basta reduzir esse índice módulo p (isto é, achar o resto da divisão por p) e ver em que posição do bloco ele cai.
Exemplo simples (para fixar): se a sequência tem período 4 e os primeiros 4 termos são a_1,a_2,a_3,a_4, então a_5=a_1, a_6=a_2 etc. Mesma ideia aqui com período 8.

Passo 4

Vamos aplicar isso ao índice 2003. Precisamos do resto da divisão de 2003 por 8. Faço a divisão:
2003 = 8 \times 250 + 3,
pois 8\cdot 250 = 2000 e sobra 3. Logo, 2003 \equiv 3 \pmod{8}. Isso significa que o 2003^{\circ} termo ocupa a mesma posição dentro do bloco de 8 termos que o 3^{\circ} termo do bloco.

Passo 5

Agora olhamos para o bloco repetitivo e pegamos o 3^{\circ} elemento dele. O bloco é
1,2,3,4,5,4,3,2,
e o 3^{\circ} elemento desse bloco é 3. Portanto, o 2003^{\circ} termo da sequência é 3.

Resposta

c) 3

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