Questão 38: Uma companhia de seguros acredita que pessoas possam ser divididas em duas classes: aquelas que são propensas a acidentes e aquelas que não são. A companhia mostra que um pessoa propensa a acidentes tem 40 % de chance de sofrer um acidente dentro de um período fixo de um ano, enquanto a chance cai para 20 % no caso de uma pessoa não propensa. Se supormos que 30 % da população é propensa a acidentes,
(a) Qual a probabilidade de que um novo segurado sofra algum acidente no período de um ano após a compra da apólice?
(b) Suponha que um novo segurado sofra um acidente em menos de um ano após a compra da apólice. Qual a probabilidade de que ele seja propenso a acidentes?

Passo 1

O enunciado divide as pessoas em duas classes: propensas a acidentes ( H) e não propensas ( overline H). Sabemos que
Pr(H)=0,3, Pr(Amid H)=0,4 e Pr(Amid overline H)=0,2, onde A é o evento “sofrer algum acidente em um ano”. Vamos usar a regra da probabilidade total para (a) e o teorema de Bayes para (b).

Passo 2

Para calcular a probabilidade de um novo segurado sofrer um acidente aplicamos a regra da probabilidade total:
Pr(A) = Pr(H),Pr(Amid H) + Pr(overline H),Pr(Amid overline H)
Substituindo os valores:
Pr(A) = 0,3cdot0,4 + 0,7cdot0,2 = 0,12 + 0,14 = 0,26

Passo 3

Para achar a probabilidade de que, dado que ocorreu um acidente, o segurado seja propenso usamos o teorema de Bayes:
Pr(Hmid A) = Pr(H),Pr(Amid H)Pr(A) = 0,3cdot0,40,26 = 0,120,26 = 613 approx 0,4615

Resposta

(a) 0,26
(b) tfrac613approx0,4615

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