Questão 38. Desenhe e identifique os orbitais s, p e d, com os eixos das coordenadas cartesianas e os sinais das funções de onda. Identifique os orbitais como gerade ou ungerade.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar e identificar os orbitais \textit{s}, \textit{p} e \textit{d}, indicando:
  • os eixos cartesianos x, y e z;
  • o sinal (positivo ou negativo) de cada lóbulo da função de onda;
  • se o orbital é \emph{gerade} (par) ou \emph{ungerade} (ímpar) sob inversão espacial \mathbf{r}\to -\mathbf{r}.
Para isso vamos usar a forma cartesianizada das funções de onda atômicas de hidrogênio e a definição de paridade:
\text{paridade: }\psi(-\mathbf{r}) = \begin{cases} +\psi(\mathbf{r}),& \text{gerade}\\\\ -\psi(\mathbf{r}),& \text{ungerade.} \end{cases}

Passo 2

Orbital s ( n\ge1,\;\ell=0)
– Forma: esfera centrada na origem.
– Sinal: único em toda a região (por convenção positivo).
– Eixos: não há orientação preferencial; qualquer corte por um plano passando pela origem mostra um círculo.
– Paridade:
\psi_s(-\mathbf{r}) = +\psi_s(\mathbf{r})\quad\Longrightarrow\quad \text{gerade.}

Passo 3

Orbitais p ( \ell=1, três orientações)
– Expressões (módulo de fator radial):
\psi_{p_x}\propto x,\quad \psi_{p_y}\propto y,\quad \psi_{p_z}\propto z.
– Geometria: cada orbital tem dois lóbulos opostos às duas extremidades de um eixo.
\psi_{p_x}: lóbulo positivo quando x>0, negativo quando x<0.
\psi_{p_y}: lóbulo positivo quando y>0, negativo quando y<0.
\psi_{p_z}: lóbulo positivo quando z>0, negativo quando z<0.
– Eixos: usam precisamente os eixos x, y e z.
– Paridade:
\psi_{p_i}(-\mathbf{r}) = -\psi_{p_i}(\mathbf{r})\quad (i=x,y,z) \quad\Longrightarrow\quad\text{ungerade.}

Passo 4

Orbitais d ( \ell=2, cinco orientações)
– Formas cartesianas (omito constante radial):
  1. \psi_{d_{z^2}}\propto 2z^2 - x^2 - y^2
    • Dois lóbulos ao longo de z (sinal positivo)
    • “Cinturão” (torus) no plano xy (sinal negativo)
  2. \psi_{d_{x^2-y^2}}\propto x^2 - y^2
    • Quatro lóbulos nos eixos x e y, com sinais alternados
  3. \psi_{d_{xy}}\propto xy
    • Quatro lóbulos nos quadrantes xy, sinais “+” em 1.º/3.º e “–” em 2.º/4.º quadrante
  4. \psi_{d_{xz}}\propto xz
    • Lóbulos nos planos que contêm os eixos x e z
  5. \psi_{d_{yz}}\propto yz
    • Lóbulos nos planos que contêm os eixos y e z
    – Paridade de todos os d:
\psi_{d_m}(-\mathbf{r}) = +\psi_{d_m}(\mathbf{r}) \quad\Longrightarrow\quad\text{gerade.}

Resposta

s: esfera, sinal único, \emph{gerade}.
p _x, p _y, p _z: dois lóbulos opostos ao longo de cada eixo, sinais +/– nos lados, \emph{ungerade}.
d _{z^2}, d _{x^2-y^2}, d _{xy}, d _{xz}, d _{yz}: formas de quatro lóbulos ou torus+lóbulos, sinais alternados conforme expressão, \emph{gerade}.

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