Questão 40 (ENA-PROFMAT-2011). O número 2568 possui dígitos ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente?
Passo 1
O enunciado dá um intervalo e exemplos; vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
- Pedem quantos são os números naturais entre
e (ou seja, todos os números de quatro algarismos) que têm os seus algarismos em ordem crescente. - Exemplo que confirma o sentido de “ordem crescente”:
tem algarismos em ordem crescente ( ). - Exemplo que mostra o que NÃO serve:
não serve porque há repetição ( ) — a ordem não é estritamente crescente; não serve porque quebra a ordem. - Portanto a condição é: os quatro algarismos do número devem ser estritamente crescentes da esquerda para a direita.
Passo 2
Entendimento importante sobre algarismos e o intervalo
–
:
- Um número de quatro algarismos tem o primeiro algarismo (milhares) diferente de
. Ou seja, os algarismos possíveis para cada posição são de a , mas o primeiro não pode ser . - Se um número de 4 algarismos tiver algarismos estritamente crescentes, então eles são quatro algarismos distintos escritos em ordem crescente.
- Se incluíssemos o algarismo
numa escolha de quatro algarismos e depois os colocássemos em ordem crescente, o ficaria no início (posição dos milhares), produzindo um número com primeiro algarismo , o que não é um número de quatro algarismos válido (seria um número de até 3 dígitos). Logo, para obter um número de quatro algarismos estritamente crescente, não podemos usar o .
Passo 3
Reformulação combinatória (ideia-chave, sem termos técnicos complexos):
- Um número de quatro algarismos com dígitos estritamente crescentes é exatamente uma escolha de quatro algarismos distintos dentre os dígitos
, escritos em ordem crescente. - Para cada escolha (conjunto) de quatro dígitos distintos em
existe exatamente um número de quatro algarismos com esses dígitos em ordem crescente. E vice-versa: cada número de quatro algarismos estritamente crescente corresponde a exatamente um conjunto de quatro dígitos de . - Portanto contar esses números equivale a contar quantos subconjuntos de tamanho
existem no conjunto .
Passo 4
Contagem de subconjuntos: explicando a fórmula usada
- O número de maneiras de escolher
elementos distintos de um conjunto com elementos (onde a ordem da escolha não importa) é dado pelo coeficiente binomial . - Breve aula sobre
: conta de quantas formas distintas se pode escolher objetos entre quando a ordem não importa. A fórmula é
onde
(fatorial) é o produto
. Aqui
e
.
Passo 5
Cálculo explícito e simplificado
- Aplicando a fórmula com
e :
- Para simplificar sem calcular
inteiro, usamos a expansão do numerador apenas até os quatro fatores maiores:
- Agora simplificamos passo a passo:
-
. -
. - Dividindo
por dá .
-
Passo 6
Sanity check e exemplos menores (para fixar a ideia)
- Exemplo menor para ver que a correspondência faz sentido: números de dois algarismos entre
e com dígitos estritamente crescentes correspondem a escolhas de dígitos entre e . Logo seriam números — basta pensar que, escolhendo por exemplo o único número possível é . - Isso confirma a lógica: cada subconjunto de algarismos se transforma em exatamente um número crescente.
Resposta
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