Questão 40 (ENA-PROFMAT-2011). O número 2568 possui dígitos ordem crescente. Os números 5667 e 3769 não possuem dígitos em ordem crescente. Quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 que possuem seus dígitos em ordem crescente?

Passo 1

O enunciado dá um intervalo e exemplos; vou listar claramente o que é pedido e o que foi dado:
  • Pedem quantos são os números naturais entre 1000 e 9999 (ou seja, todos os números de quatro algarismos) que têm os seus algarismos em ordem crescente.
  • Exemplo que confirma o sentido de “ordem crescente”: 2568 tem algarismos em ordem crescente ( 2<5<6<8).
  • Exemplo que mostra o que NÃO serve: 5667 não serve porque há repetição ( 6,6) — a ordem não é estritamente crescente; 3769 não serve porque 7>6 quebra a ordem.
  • Portanto a condição é: os quatro algarismos do número devem ser estritamente crescentes da esquerda para a direita.

Passo 2

Entendimento importante sobre algarismos e o intervalo 1000 9999:
  • Um número de quatro algarismos tem o primeiro algarismo (milhares) diferente de 0. Ou seja, os algarismos possíveis para cada posição são de 0 a 9, mas o primeiro não pode ser 0.
  • Se um número de 4 algarismos tiver algarismos estritamente crescentes, então eles são quatro algarismos distintos escritos em ordem crescente.
  • Se incluíssemos o algarismo 0 numa escolha de quatro algarismos e depois os colocássemos em ordem crescente, o 0 ficaria no início (posição dos milhares), produzindo um número com primeiro algarismo 0, o que não é um número de quatro algarismos válido (seria um número de até 3 dígitos). Logo, para obter um número de quatro algarismos estritamente crescente, não podemos usar o 0.

Passo 3

Reformulação combinatória (ideia-chave, sem termos técnicos complexos):
  • Um número de quatro algarismos com dígitos estritamente crescentes é exatamente uma escolha de quatro algarismos distintos dentre os dígitos 1,2,\dots,9, escritos em ordem crescente.
  • Para cada escolha (conjunto) de quatro dígitos distintos em \{1,\dots,9\} existe exatamente um número de quatro algarismos com esses dígitos em ordem crescente. E vice-versa: cada número de quatro algarismos estritamente crescente corresponde a exatamente um conjunto de quatro dígitos de \{1,\dots,9\}.
  • Portanto contar esses números equivale a contar quantos subconjuntos de tamanho 4 existem no conjunto \{1,2,\dots,9\}.

Passo 4

Contagem de subconjuntos: explicando a fórmula usada
  • O número de maneiras de escolher 4 elementos distintos de um conjunto com 9 elementos (onde a ordem da escolha não importa) é dado pelo coeficiente binomial \binom{9}{4}.
  • Breve aula sobre \binom{n}{k}: \binom{n}{k} conta de quantas formas distintas se pode escolher k objetos entre n quando a ordem não importa. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Aqui n=9 e k=4.

Passo 5

Cálculo explícito e simplificado
  • Aplicando a fórmula com n=9 e k=4:
\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!\,5!}.
  • Para simplificar sem calcular 9! inteiro, usamos a expansão do numerador apenas até os quatro fatores maiores:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Agora simplificamos passo a passo:
    • 4\cdot3\cdot2\cdot1=24.
    • 9\cdot8\cdot7\cdot6 = 3024.
    • Dividindo 3024 por 24 126.

Passo 6

Sanity check e exemplos menores (para fixar a ideia)
  • Exemplo menor para ver que a correspondência faz sentido: números de dois algarismos entre 10 e 99 com dígitos estritamente crescentes correspondem a escolhas de 2 dígitos entre 1 e 9. Logo seriam \binom{9}{2}=36 números — basta pensar que, escolhendo por exemplo \{3,7\} o único número possível é 37.
  • Isso confirma a lógica: cada subconjunto de algarismos se transforma em exatamente um número crescente.

Resposta

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