Questão 3 Se y=e^{2 x}+4 x^{3}-8 x for a verdadeira relação entre duas variáveis x e y, qual é a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento cometido ao realizar uma interpolação quadrática em x=1,4 usando os pontos
x 1 1,5 2,6
y 3,3891 21,5855 230,7762
? mínimos do parâmetro a ?
(A) 11,7934
(B) 6,6406
(C) 3,6032
(億) 1,8431
(E) 0,8448

Passo 1

O enunciado pede: qual é a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento ao realizar uma interpolação quadrática em x=1,4 usando os pontos
x_0=1,\quad x_1=1,5,\quad x_2=2,6
com as respectivas imagens (dados da tabela fornecida). Os dados relevantes que temos são:
f(x)=e^{2x}+4x^{3}-8x,
os pontos de interpolação x_0=1, x_1=1,5, x_2=2,6 e o ponto onde queremos o erro: x=1,4.
Não precisamos dos valores de y para a cota teórica do erro, apenas da função e dos abscissas.

Passo 2

Fórmula do erro da interpolação polinomial (explicação didática):
Ao interpolar uma função f por um polinômio de grau n (aqui n=2) nos pontos x_0,\dots,x_n, o erro em um ponto x é dado por
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\,\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)
para algum \xi entre os nós (teorema do resto de Lagrange). Para uma cota superior do valor absoluto do erro, tomamos o máximo de |f^{(n+1)}(t)| no intervalo que contém os nós e o ponto x, e obtemos
|R_n(x)|\le \frac{\max_{t\in I}|f^{(n+1)}(t)|}{(n+1)!}\,\left|\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\right|.
Aqui n=2, então precisamos de f^{(3)} e do produto (x-x_0)(x-x_1)(x-x_2). Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular derivadas até a terceira (mostrando o porquê de cada passo):
A função é f(x)=e^{2x}+4x^{3}-8x.
  • Primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}e^{2x}+\frac{d}{dx}(4x^3)-\frac{d}{dx}(8x)=2e^{2x}+12x^2-8.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}(2e^{2x})+\frac{d}{dx}(12x^2)-\frac{d}{dx}(8)=4e^{2x}+24x.
  • Terceira derivada (é a que aparece no resto para grau 2):
f^{(3)}(x)=\frac{d}{dx}(4e^{2x})+\frac{d}{dx}(24x)=8e^{2x}+24.
Observação: f^{(3)}(x) é positiva para todo x porque 8e^{2x}>0, então |f^{(3)}(x)|=8e^{2x}+24.

Passo 4

Escolher o intervalo e achar a cota máxima de |f^{(3)}|:
Os nós e o ponto estão em [1,2,6] — escrevo como [1,2,6] no formato com vírgula decimal: [1,2{,}6]. Como e^{2x} cresce com x, a função 8e^{2x}+24 atinge o máximo no extremo direito x=2,6. Logo
\max_{t\in[1,2{,}6]}|f^{(3)}(t)|=f^{(3)}(2,6)=8e^{2\cdot 2,6}+24=8e^{5,2}+24.

Passo 5

Calcular o produto \left|\prod_{i=0}^{2}(x-x_i)\right| em x=1,4:
x-x_0=1,4-1=0,4,
x-x_1=1,4-1,5=-0,1\quad\Rightarrow\quad|x-x_1|=0,1,
x-x_2=1,4-2,6=-1,2\quad\Rightarrow\quad|x-x_2|=1,2.
Produto das magnitudes:
\left|\prod_{i=0}^{2}(x-x_i)\right|=0,4\cdot 0,1\cdot 1,2=0,048.

Passo 6

Aplicar a fórmula da cota numérica:
A cota é
|R_2(1,4)|\le \frac{\max_{t\in[1,2{,}6]}|f^{(3)}(t)|}{3!}\cdot 0,048.
Calculamos passo a passo:
\max_{t}|f^{(3)}(t)|=8e^{5,2}+24.
Estimando e^{5,2}: e^{5,2}\approx 181,272 (aproximação padrão). Então
8e^{5,2}\approx 8\cdot 181,272=1450,176,
8e^{5,2}+24\approx 1450,176+24=1474,176.
Agora dividimos por 3!=6:
\frac{1474,176}{6}\approx 245,696.
Multiplicando pelo produto 0,048:
245,696\cdot 0,048\approx 11,793408\approx 11,7934.
Essa é a cota superior do erro absoluto (arredondada conforme alternativas).

Passo 7

Comparar com as alternativas: o valor obtido \approx 11,7934 coincide com a alternativa (A).

Resposta

(A) 11,7934

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