Questão 3 Se y=e^{2 x}+4 x^{3}-8 x for a verdadeira relação entre duas variáveis x e y, qual é a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento cometido ao realizar uma interpolação quadrática em x=1,4 usando os pontos
O enunciado pede: qual é a cota superior do valor absoluto do erro de truncamento ao realizar uma interpolação quadrática em x=1,4 usando os pontos
x_0=1,\quad x_1=1,5,\quad x_2=2,6
com as respectivas imagens (dados da tabela fornecida). Os dados relevantes que temos são:
f(x)=e^{2x}+4x^{3}-8x,
os pontos de interpolação x_0=1, x_1=1,5, x_2=2,6 e o ponto onde queremos o erro: x=1,4.
Não precisamos dos valores de y para a cota teórica do erro, apenas da função e dos abscissas.
Passo 2
Fórmula do erro da interpolação polinomial (explicação didática):
Ao interpolar uma função f por um polinômio de grau n (aqui n=2) nos pontos x_0,\dots,x_n, o erro em um ponto x é dado por
para algum \xi entre os nós (teorema do resto de Lagrange). Para uma cota superior do valor absoluto do erro, tomamos o máximo de |f^{(n+1)}(t)| no intervalo que contém os nós e o ponto x, e obtemos
Observação: f^{(3)}(x) é positiva para todo x porque 8e^{2x}>0, então |f^{(3)}(x)|=8e^{2x}+24.
Passo 4
Escolher o intervalo e achar a cota máxima de |f^{(3)}|:
Os nós e o ponto estão em [1,2,6] — escrevo como [1,2,6] no formato com vírgula decimal: [1,2{,}6]. Como e^{2x} cresce com x, a função 8e^{2x}+24 atinge o máximo no extremo direito x=2,6. Logo