Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos: todos os elementos da matriz A (listados acima) e que queremos uma fatoração do tipo LU (matriz triangular inferior vezes matriz triangular superior). Não há figura adicional nem outra informação.
Passo 2
O método que vamos usar é o método padrão de eliminação (conhecido como Doolittle) para obter LU sem permutações de linhas. Vou explicar de forma prática e passo a passo:
A ideia: aplicar eliminação de Gauss em A para transformá-la numa matriz triangular superior U. Cada operação de eliminar (zerar) um elemento abaixo do pivô é feita subtraindo da linha i um múltiplo da linha do pivô k. Esse múltiplo é exatamente o elemento l_{ik} que vai na matriz L.
Convenção (Doolittle): a matriz L terá 1s na diagonal principal e, abaixo dela, os multiplicadores l_{ik}. A matriz U será o resultado triangular superior após as eliminações.
Fórmula do multiplicador no passo k: para zerar o elemento na linha i>k e coluna k,l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(\text{antes do passo }k)}}{u_{kk}},onde u_{kk} é o pivô da etapa (o elemento já em U). Depois atualizamos a linha i por\text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{ik}\cdot \text{linha}_k.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo na matriz dada. Sempre que eu calcular um multiplicador, mostro o valor e a linha resultante.
Passo 3
Começamos com A. Para facilitar, escrevo a matriz original como primeira linha de U provisório e vou anotar os multiplicadores em L.
Somando à linha 4 atual [0,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{10}{3}] obtemos: [0,0,0,\tfrac{10}{3}+\tfrac{3}{2}] = [0,0,0,\tfrac{20}{6}+\tfrac{9}{6}] = [0,0,0,\tfrac{29}{6}].
Você pode conferir mentalmente: multiplicando L por U volta-se à matriz A original (essa verificação é útil na prova, basta checar algumas entradas se estiver sem tempo).