Q5. Determine as matrizes L e U da fatoração L U da matriz abaixo:
A=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A de ordem 4 e pede: encontrar as matrizes L e U tais que
A = LU.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá e que usaremos: todos os elementos da matriz A (listados acima) e que queremos uma fatoração do tipo LU (matriz triangular inferior vezes matriz triangular superior). Não há figura adicional nem outra informação.

Passo 2

O método que vamos usar é o método padrão de eliminação (conhecido como Doolittle) para obter LU sem permutações de linhas. Vou explicar de forma prática e passo a passo:
  • A ideia: aplicar eliminação de Gauss em A para transformá-la numa matriz triangular superior U. Cada operação de eliminar (zerar) um elemento abaixo do pivô é feita subtraindo da linha i um múltiplo da linha do pivô k. Esse múltiplo é exatamente o elemento l_{ik} que vai na matriz L.
  • Convenção (Doolittle): a matriz L terá 1s na diagonal principal e, abaixo dela, os multiplicadores l_{ik}. A matriz U será o resultado triangular superior após as eliminações.
  • Fórmula do multiplicador no passo k: para zerar o elemento na linha i>k e coluna k, l_{ik}=\frac{a_{ik}^{(\text{antes do passo }k)}}{u_{kk}},onde u_{kk} é o pivô da etapa (o elemento já em U). Depois atualizamos a linha i por \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{ik}\cdot \text{linha}_k.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo na matriz dada. Sempre que eu calcular um multiplicador, mostro o valor e a linha resultante.

Passo 3

Começamos com A. Para facilitar, escrevo a matriz original como primeira linha de U provisório e vou anotar os multiplicadores em L.
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
No primeiro passo (pivot u_{11}=1) calculamos os multiplicadores para zerar a coluna 1 abaixo do pivô:
  • Para a linha 2: l_{21}=\dfrac{3}{1}=3.
  • Para a linha 3: l_{31}=\dfrac{1}{1}=1.
  • Para a linha 4: l_{41}=\dfrac{-1}{1}=-1.
Agora atualizamos as linhas 2, 3 e 4 usando \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{i1}\cdot \text{linha}_1.
Cálculos:
  • Linha 2: [3,0,0,1] - 3\cdot[1,2,1,-1] = [3-3,\,0-6,\,0-3,\,1+3] = [0,\,-6,\,-3,\,4].
  • Linha 3: [1,2,0,2] - 1\cdot[1,2,1,-1] = [0,\,0,\,-1,\,3].
  • Linha 4: [-1,3,2,1] - (-1)\cdot[1,2,1,-1] = [-1+1,\,3+2,\,2+1,\,1-1] = [0,\,5,\,3,\,0].
Após o primeiro passo, a matriz transformada (primeira versão de U) fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & -6 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 5 & 3 & 0 \end{pmatrix}.
E os multiplicadores já conhecidos para L (coluna 1) são l_{21}=3,\; l_{31}=1,\; l_{41}=-1.

Passo 4

Agora passo ao segundo pivô, que é u_{22}=-6 (elemento da linha 2, coluna 2 da matriz transformada). Vamos zerar os elementos abaixo dele na coluna 2.
  • Para a linha 3: l_{32}=\dfrac{0}{-6}=0.
  • Para a linha 4: l_{42}=\dfrac{5}{-6}=-\dfrac{5}{6}.
Atualizamos as linhas usando \text{linha}_i \leftarrow \text{linha}_i - l_{i2}\cdot \text{linha}_2.
Cálculos:
  • Linha 3: permanece igual porque l_{32}=0: [0,0,-1,3].
  • Linha 4: [0,5,3,0] - \left(-\dfrac{5}{6}\right)\cdot[0,-6,-3,4] = [0,5,3,0] + \dfrac{5}{6}\cdot[0,-6,-3,4].
Calcule \dfrac{5}{6}\cdot[0,-6,-3,4] = [0,-5,-\tfrac{15}{6},\tfrac{20}{6}]=[0,-5,-\tfrac{5}{2},\tfrac{10}{3}].
Somando a linha 4:
[0,5,3,0] + [0,-5,-\tfrac{5}{2},\tfrac{10}{3}] = [0,0,\;3-\tfrac{5}{2},\;0+\tfrac{10}{3}] = [0,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{10}{3}].
A matriz U após o segundo passo fica:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & -6 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{10}{3} \end{pmatrix}.
E os multiplicadores adicionais para L são l_{32}=0,\; l_{42}=-\tfrac{5}{6}.

Passo 5

Terceiro pivô é u_{33}=-1 (linha 3, coluna 3). Precisamos zerar o elemento abaixo dele (linha 4, coluna 3).
  • Para a linha 4: l_{43}=\dfrac{\tfrac{1}{2}}{-1}=-\dfrac{1}{2}.
Atualizamos a linha 4:
\text{linha}_4 \leftarrow \text{linha}_4 - l_{43}\cdot \text{linha}_3 = \text{linha}_4 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot\text{linha}_3 = \text{linha}_4 + \tfrac{1}{2}\cdot\text{linha}_3.
Cálculo:
\tfrac{1}{2}\cdot[0,0,-1,3] = [0,0,-\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}].
Somando à linha 4 atual [0,0,\tfrac{1}{2},\tfrac{10}{3}] obtemos:
[0,0,0,\tfrac{10}{3}+\tfrac{3}{2}] = [0,0,0,\tfrac{20}{6}+\tfrac{9}{6}] = [0,0,0,\tfrac{29}{6}].
Assim U final é:
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & -6 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{29}{6} \end{pmatrix}.
E o último multiplicador é l_{43}=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Agora montamos a matriz L. Lembre-se: L tem 1s na diagonal e, abaixo da diagonal, os multiplicadores que usamos em cada etapa:
  • Coluna 1: l_{21}=3,\; l_{31}=1,\; l_{41}=-1.
  • Coluna 2: l_{32}=0,\; l_{42}=-\tfrac{5}{6}.
  • Coluna 3: l_{43}=-\tfrac{1}{2}.
  • Coluna 4 abaixo da diagonal não tem multiplicadores porque não há etapas posteriores.
Portanto
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & -\tfrac{5}{6} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}.
Você pode conferir mentalmente: multiplicando L por U volta-se à matriz A original (essa verificação é útil na prova, basta checar algumas entradas se estiver sem tempo).

Resposta

L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ -1 & -\tfrac{5}{6} & -\tfrac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}
U=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & -1 \\\\ 0 & -6 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{29}{6} \end{pmatrix}

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