Questão 1 Qual é o valor da diferença dividida de ordem 3 calculada a partir dos pontos
x 3 3,1 3,5 4,1
y 7 9 11 16
?
(A) 45,4545
(B) 33,3333
(C) 24,2424
(D) 27,2727

Passo 1

O enunciado pede a diferença dividida de ordem 3 calculada a partir dos quatro pontos dados na tabela. Dados importantes (usarei vírgula como separador decimal, conforme o enunciado):
x_0=3,\quad x_1=3{,}1,\quad x_2=3{,}5,\quad x_3=4{,}1
y_0=7,\quad y_1=9,\quad y_2=11,\quad y_3=16
A pergunta é: calcular a diferença dividida de ordem 3
f[x_0,x_1,x_2,x_3].

Passo 2

O que é diferença dividida e como vamos calcular passo a passo:
  • A diferença dividida de ordem 1 entre dois pontos (x_i,y_i) e (x_j,y_j) é a razão das diferenças:
f[x_i,x_j]=\frac{y_j-y_i}{x_j-x_i}.
Aqui y_i=f(x_i) e y_j=f(x_j); estamos computeando a inclinação média entre os pontos.
  • A diferença dividida de ordem 2 em três pontos (x_i,x_j,x_k) é obtida a partir das diferenças de ordem 1:
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Note que o denominador é a diferença entre o maior e o menor dos três abscissas.
  • Análogamente, a diferença dividida de ordem 3 em quatro pontos (x_0,x_1,x_2,x_3) é
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}.
Vou aplicar exatamente essas fórmulas passo a passo. Cada variável usada em uma fórmula representa a diferença dividida já calculada nos passos anteriores ou uma diferença entre abscissas.

Passo 3

Calcular as diferenças divididas de primeira ordem entre pontos adjacentes:
  • Entre x_0=3 e x_1=3{,}1:
f[x_0,x_1]=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{9-7}{3{,}1-3}=\frac{2}{0{,}1}=20.
  • Entre x_1=3{,}1 e x_2=3{,}5:
f[x_1,x_2]=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{11-9}{3{,}5-3{,}1}=\frac{2}{0{,}4}=5.
  • Entre x_2=3{,}5 e x_3=4{,}1:
f[x_2,x_3]=\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}=\frac{16-11}{4{,}1-3{,}5}=\frac{5}{0{,}6}=\frac{25}{3}\approx 8{,}3333\ldots
Resumo até aqui:
f[x_0,x_1]=20,\quad f[x_1,x_2]=5,\quad f[x_2,x_3]=\frac{25}{3}.

Passo 4

Calcular as diferenças divididas de segunda ordem:
  • Para (x_0,x_1,x_2):
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0} =\frac{5-20}{3{,}5-3}=\frac{-15}{0{,}5}=-30.
  • Para (x_1,x_2,x_3):
f[x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_2,x_3]-f[x_1,x_2]}{x_3-x_1} =\frac{\frac{25}{3}-5}{4{,}1-3{,}1} =\frac{\frac{25-15}{3}}{1{,}0} =\frac{10}{3}\approx 3{,}3333\ldots
Resumo:
f[x_0,x_1,x_2]=-30,\quad f[x_1,x_2,x_3]=\frac{10}{3}.

Passo 5

Calcular a diferença dividida de terceira ordem desejada, usando a fórmula:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}.
Substituindo os valores obtidos:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{\frac{10}{3}-(-30)}{4{,}1-3} =\frac{\frac{10}{3}+30}{1{,}1}.
Somando as frações no numerador:
\frac{10}{3}+30=\frac{10+90}{3}=\frac{100}{3}.
Agora dividir por 1{,}1=\frac{11}{10}:
f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{\frac{100}{3}}{1{,}1}=\frac{100}{3}\cdot\frac{10}{11}=\frac{1000}{33}.
Em decimal,
\frac{1000}{33}\approx 30{,}303030\ldots
Como checagem rápida: se eu substituo esse valor na forma de Newton para reconstruir f(4{,}1) o resultado bate com 16, então a conta está consistente.

Resposta

Nenhuma das alternativas. \displaystyle \frac{1000}{33}\approx 30{,}3030

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