Questão 42 (ENA-PROFMAT-2012). De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?
Passo 1
O enunciado pede: “De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?”\n\nInformações relevantes fornecidas e observações imediatas:
- Os números a escolher vêm do conjunto
. - Devem ser escolhidos três números distintos (ordem irrelevante — trata-se de combinações).
- A condição é que a soma dos três números seja par.
- No conjunto
há números pares e números ímpares (isto é informação derivável dos inteiros de a , que será usada).
Passo 2
Entender quando a soma de três inteiros é par — regra de paridade que vamos usar e explicar devagarinho.
- Paridade básica: um número é par ou ímpar. Soma de dois números:
- par
par par; - ímpar
ímpar par; - par
ímpar ímpar.
- par
- Para três números, a soma é par exatamente quando o número de parcelas ímpares é par (0 ou 2). Vamos verificar os casos possíveis de quantidade de ímpares entre três números:
- 0 ímpares (todos pares): soma é par.
- 1 ímpar (duas pares + uma ímpar): soma é ímpar.
- 2 ímpares (duas ímpares + uma par): soma é par.
- 3 ímpares (todas ímpares): soma é ímpar.
- Conclusão: para obter soma par com três números, só há duas possibilidades a contar: (A) escolher três pares; (B) escolher exatamente duas ímpares e uma par.
Passo 3
Contar o caso (A): escolher três números todos pares.
- No conjunto há
números pares. - O número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto com elementos (sem ordem) é dado pela combinação
- Calculemos passo a passo:
- Logo, há
formas no caso (A).
Passo 4
Contar o caso (B): escolher exatamente duas ímpares e uma par.
- Há
números ímpares e números pares. - Escolher
ímpares de pode ser feito de maneiras, e escolher par de pode ser feito de maneiras. - Fórmula e cálculos:
- Como as escolhas são independentes (primeiro escolhe-se quais duas ímpares, depois qual par), multiplicamos:
- Logo, há
formas no caso (B).
Passo 5
Somar os casos possíveis (A) e (B) para obter o total de maneiras com soma par.
- Total
.
Verificação rápida (checo mental): o total de maneiras de escolher 3 de 20 é
e nosso resultado
é exatamente metade de
. Faz sentido intuitivamente: entre todas as combinações de três números, metade terá soma par e metade terá soma ímpar quando há igual quantidade de pares e ímpares no universo (a verificação combinatória direta acima é a conta correta).
Passo 6
Dica prática para prova (rápida): conte as possibilidades por paridade como fizemos — é quase sempre a forma mais rápida. Memorize como calcular
com cancelamentos simples (por exemplo,
) para evitar cálculo de fatoriais grandes.
Resposta
570