Questão 42 (ENA-PROFMAT-2012). De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?

Passo 1

O enunciado pede: “De quantas maneiras é possível escolher três números inteiros distintos, de 1 a 20, de forma que a soma seja par?”\n\nInformações relevantes fornecidas e observações imediatas:
  • Os números a escolher vêm do conjunto \{1,2,\dots,20\}.
  • Devem ser escolhidos três números distintos (ordem irrelevante — trata-se de combinações).
  • A condição é que a soma dos três números seja par.
  • No conjunto \{1,\dots,20\} 10 números pares e 10 números ímpares (isto é informação derivável dos inteiros de 1 a 20, que será usada).

Passo 2

Entender quando a soma de três inteiros é par — regra de paridade que vamos usar e explicar devagarinho.
  • Paridade básica: um número é par ou ímpar. Soma de dois números:
    • par + par = par;
    • ímpar + ímpar = par;
    • par + ímpar = ímpar.
  • Para três números, a soma é par exatamente quando o número de parcelas ímpares é par (0 ou 2). Vamos verificar os casos possíveis de quantidade de ímpares entre três números:
    • 0 ímpares (todos pares): soma é par.
    • 1 ímpar (duas pares + uma ímpar): soma é ímpar.
    • 2 ímpares (duas ímpares + uma par): soma é par.
    • 3 ímpares (todas ímpares): soma é ímpar.
  • Conclusão: para obter soma par com três números, só há duas possibilidades a contar: (A) escolher três pares; (B) escolher exatamente duas ímpares e uma par.

Passo 3

Contar o caso (A): escolher três números todos pares.
  • No conjunto há 10 números pares.
  • O número de maneiras de escolher 3 elementos de um conjunto com 10 elementos (sem ordem) é dado pela combinação
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}.
  • Calculemos passo a passo:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{6}=\frac{720}{6}=120.
  • Logo, há 120 formas no caso (A).

Passo 4

Contar o caso (B): escolher exatamente duas ímpares e uma par.
  • 10 números ímpares e 10 números pares.
  • Escolher 2 ímpares de 10 pode ser feito de \binom{10}{2} maneiras, e escolher 1 par de 10 pode ser feito de \binom{10}{1} maneiras.
  • Fórmula e cálculos:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2\cdot1}=45, \qquad \binom{10}{1}=10.
  • Como as escolhas são independentes (primeiro escolhe-se quais duas ímpares, depois qual par), multiplicamos:
\binom{10}{2}\cdot\binom{10}{1}=45\cdot10=450.
  • Logo, há 450 formas no caso (B).

Passo 5

Somar os casos possíveis (A) e (B) para obter o total de maneiras com soma par.
  • Total =120+450=570.
Verificação rápida (checo mental): o total de maneiras de escolher 3 de 20 é
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot19\cdot18}{6}=1140,
e nosso resultado 570 é exatamente metade de 1140. Faz sentido intuitivamente: entre todas as combinações de três números, metade terá soma par e metade terá soma ímpar quando há igual quantidade de pares e ímpares no universo (a verificação combinatória direta acima é a conta correta).

Passo 6

Dica prática para prova (rápida): conte as possibilidades por paridade como fizemos — é quase sempre a forma mais rápida. Memorize como calcular \binom{n}{k} com cancelamentos simples (por exemplo, \binom{10}{3}=\dfrac{10\cdot9\cdot8}{6}) para evitar cálculo de fatoriais grandes.

Resposta

570

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