Questão 44. Se
e
então xy e
estão no intervalo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as desigualdades
e
e pergunta em qual dos intervalos listados estão os valores de
e de
.
Informações relevantes:
pertence ao intervalo
(ou seja,
é negativo, entre
e
).
pertence ao intervalo
(ou seja,
é positivo, entre
e
).
As opções a comparar são ,
,
e
.
Informações relevantes:
As opções a comparar são
Passo 2
Primeiro, identifiquemos o sinal dos produtos: como
e
, o produto
é negativo. Também
é negativo porque
é negativo. Então ambos os números
e
são valores negativos; agora precisamos achar os intervalos numéricos precisos onde eles variam.
Passo 3
Vamos achar o intervalo de
. Pense assim: para
negativo e
positivo, a quantidade
fica mais negativa quando
é maior e
é maior; fica menos negativa (mais próxima de zero) quando
é menor (isto é,
mais próximo de
) e
é menor (mais próximo de
). Portanto os extremos ocorrem nos extremos dos intervalos de
e
. Calcule esses produtos extremos:
e
.
Como os intervalos de e
são abertos (não incluem as extremidades), os valores
e
não são atingidos, apenas aproximados. Logo o conjunto de todos os possíveis valores de
é
.
Um pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: se (que está entre
e
) e
(entre
e
), então
, que de fato está entre
e
. Testando outros pontos extremos reais próximos a
e a
confirma que
varia por todo o intervalo
.
Como os intervalos de
Um pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: se
Passo 4
Agora vamos achar o intervalo de
. A função
para
é negativa e é estritamente decrescente (porque
). Assim, quando
varia de
(mais à esquerda) para
(mais à direita),
varia de
para
, indo de um valor maior
para um valor menor
. Como
não atinge os extremos, os valores
e
também não são atingidos. Portanto o conjunto de todos os possíveis valores de
é
.
Passo 5
Compare os dois intervalos que obtivemos com as alternativas:
-
. -
.
A alternativa que contém ambos os intervalos como subconjuntos é(opção d), porque esse intervalo vai de até e, portanto, engloba tanto quanto .
Logo, a alternativa correta é a que apresenta o intervalo, isto é, a letra d).
Resposta
(d)