Questão 44. Se -4<x<-1 e 1<y<2 então xy e 2 / x estão no intervalo:
a) ]-8,-1[
b) ]-2,-1 / 2[
c) ]-2,-1[
d) ]-8,-1 / 2[

Passo 1

O enunciado dá as desigualdades -4 < x < -1 e 1 < y < 2 e pergunta em qual dos intervalos listados estão os valores de xy e de 2/x.
Informações relevantes:
x pertence ao intervalo ]-4,-1[ (ou seja, x é negativo, entre -4 e -1).
y pertence ao intervalo ]1,2[ (ou seja, y é positivo, entre 1 e 2).
As opções a comparar são ]\!-8,-1[, ]\!-2,-\tfrac{1}{2}[, ]\!-2,-1[ e ]\!-8,-\tfrac{1}{2}[.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos o sinal dos produtos: como x<0 e y>0, o produto xy é negativo. Também 2/x é negativo porque x é negativo. Então ambos os números xy e 2/x são valores negativos; agora precisamos achar os intervalos numéricos precisos onde eles variam.

Passo 3

Vamos achar o intervalo de xy. Pense assim: para x negativo e y positivo, a quantidade xy fica mais negativa quando |x| é maior e y é maior; fica menos negativa (mais próxima de zero) quando |x| é menor (isto é, x mais próximo de -1) e y é menor (mais próximo de 1). Portanto os extremos ocorrem nos extremos dos intervalos de x e y. Calcule esses produtos extremos:
(-4)\cdot 2 = -8 e (-1)\cdot 1 = -1.
Como os intervalos de x e y são abertos (não incluem as extremidades), os valores -8 e -1 não são atingidos, apenas aproximados. Logo o conjunto de todos os possíveis valores de xy é
]\!-8,-1[.
Um pequeno exemplo numérico para fixar a intuição: se x=-3 (que está entre -4 e -1) e y=1{,}5 (entre 1 e 2), então xy=-4{,}5, que de fato está entre -8 e -1. Testando outros pontos extremos reais próximos a -4 e a -1 confirma que xy varia por todo o intervalo ]\!-8,-1[.

Passo 4

Agora vamos achar o intervalo de 2/x. A função g(x)=2/x para x<0 é negativa e é estritamente decrescente (porque g'(x)=-2/x^2<0). Assim, quando x varia de -4 (mais à esquerda) para -1 (mais à direita), g(x) varia de 2/(-4)=-\tfrac{1}{2} para 2/(-1)=-2, indo de um valor maior -\tfrac{1}{2} para um valor menor -2. Como x não atinge os extremos, os valores -\tfrac{1}{2} e -2 também não são atingidos. Portanto o conjunto de todos os possíveis valores de 2/x é
]\!-2,-\tfrac{1}{2}[.

Passo 5

Compare os dois intervalos que obtivemos com as alternativas:
  • xy \in ]\!-8,-1[.
  • 2/x \in ]\!-2,-\tfrac{1}{2}[.
    A alternativa que contém ambos os intervalos como subconjuntos é ]\!-8,-\tfrac{1}{2}[ (opção d), porque esse intervalo vai de -8 até -\tfrac{1}{2} e, portanto, engloba tanto ]\!-8,-1[ quanto ]\!-2,-\tfrac{1}{2}[.
    Logo, a alternativa correta é a que apresenta o intervalo ]\!-8,-\tfrac{1}{2}[, isto é, a letra d).

Resposta

(d)

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