Questão 43. Qual é o dígito das unidades do número 3^{1998} ?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é o dígito das unidades do número 3^{1998}?”\n
Dados fornecidos:\n
  • A base é 3.\n
  • O expoente é 1998.\n
  • As alternativas são: a) 1, b) 3, c) 5, d) 7.\n
    O que se pede: determinar o dígito das unidades de 3^{1998} (ou seja, o último algarismo desse número).

Passo 2

Entendendo o que significa “dígito das unidades”.\n
Um número inteiro qualquer pode ser escrito como 10q + r, onde q é um inteiro e r é o resto da divisão por 10, com 0\le r\le 9. Esse r é exatamente o dígito das unidades. Portanto, para achar o dígito das unidades de um número basta calcular o resto desse número na divisão por 10, que é o mesmo que trabalhar com congruência módulo 10. Exemplo: 243 = 10\cdot 24 + 3, então o dígito das unidades de 243 é 3.

Passo 3

Vamos calcular os dígitos das unidades das potências iniciais de 3 para procurar um padrão (isso é uma técnica muito comum em provas):\n
  • \displaystyle 3^{1}=3 → dígito das unidades: 3.\n
  • \displaystyle 3^{2}=9 → dígito das unidades: 9.\n
  • \displaystyle 3^{3}=27 → dígito das unidades: 7.\n
  • \displaystyle 3^{4}=81 → dígito das unidades: 1.\n
  • \displaystyle 3^{5}=243 → dígito das unidades: 3.\n
    Observe a sequência dos dígitos das unidades: 3,9,7,1,3,9,7,1,\dots — ela repete. Aqui a repetição (o período) tem comprimento 4.

Passo 4

Por que isso acontece? Uma explicação simples:\n
  • Note que \displaystyle 3^{4}=81\equiv 1\pmod{10}. Portanto \displaystyle 3^{4k}\equiv 1\pmod{10} para todo inteiro k. Assim, \displaystyle 3^{4k+r}\equiv 3^{r}\pmod{10}.\n
    Isto significa que os dígitos das unidades das potências de 3 repetem a cada 4 expoentes. Logo, para saber o dígito das unidades de \displaystyle 3^{n} basta olhar o resto de n na divisão por 4:\n
  • se n\equiv 1\pmod{4} → unidade 3;\n
  • se n\equiv 2\pmod{4} → unidade 9;\n
  • se n\equiv 3\pmod{4} → unidade 7;\n
  • se n\equiv 0\pmod{4} → unidade 1.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso expoente 1998: calculamos o resto da divisão de 1998 por 4.\n
Fazendo a divisão: 4\cdot 499 = 1996, sobra 1998-1996=2. Portanto \displaystyle 1998\equiv 2\pmod{4}.

Passo 6

Como 1998\equiv 2\pmod{4}, usamos o mapeamento do Passo 4: quando o expoente deixa resto 2 ao dividir por 4, o dígito das unidades de \displaystyle 3^{n} é 9.\n
Conclusão intermediária: o dígito das unidades de \displaystyle 3^{1998} é 9.\n
Observação importante: as alternativas fornecidas no enunciado eram 1,3,5,7 e nenhuma delas é 9. Logo, nenhuma das alternativas listadas está correta — o dígito das unidades é 9, que não aparece entre as opções.

Resposta

9

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