Questão 43. Qual é o dígito das unidades do número
?
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
Passo 1
O enunciado pergunta: “Qual é o dígito das unidades do número
?”\n
Dados fornecidos:\n
Dados fornecidos:\n
- A base é
.\n - O expoente é
.\n - As alternativas são: a)
, b) , c) , d) .\n
O que se pede: determinar o dígito das unidades de(ou seja, o último algarismo desse número).
Passo 2
Entendendo o que significa “dígito das unidades”.\n
Um número inteiro qualquer pode ser escrito como , onde
é um inteiro e
é o resto da divisão por
, com
. Esse
é exatamente o dígito das unidades. Portanto, para achar o dígito das unidades de um número basta calcular o resto desse número na divisão por
, que é o mesmo que trabalhar com congruência módulo
. Exemplo:
, então o dígito das unidades de
é
.
Um número inteiro qualquer pode ser escrito como
Passo 3
Vamos calcular os dígitos das unidades das potências iniciais de
para procurar um padrão (isso é uma técnica muito comum em provas):\n
-
→ dígito das unidades: .\n -
→ dígito das unidades: .\n -
→ dígito das unidades: .\n -
→ dígito das unidades: .\n -
→ dígito das unidades: .\n
Observe a sequência dos dígitos das unidades:— ela repete. Aqui a repetição (o período) tem comprimento .
Passo 4
Por que isso acontece? Uma explicação simples:\n
- Note que
. Portanto para todo inteiro . Assim, .\n
Isto significa que os dígitos das unidades das potências derepetem a cada expoentes. Logo, para saber o dígito das unidades de basta olhar o resto de na divisão por :\n - se
→ unidade ;\n - se
→ unidade ;\n - se
→ unidade ;\n - se
→ unidade .
Passo 5
Aplicando isso ao nosso expoente
: calculamos o resto da divisão de
por
.\n
Fazendo a divisão: , sobra
. Portanto
.
Fazendo a divisão:
Passo 6
Como
, usamos o mapeamento do Passo 4: quando o expoente deixa resto
ao dividir por
, o dígito das unidades de
é
.\n
Conclusão intermediária: o dígito das unidades de é
.\n
Observação importante: as alternativas fornecidas no enunciado eram e nenhuma delas é
. Logo, nenhuma das alternativas listadas está correta — o dígito das unidades é
, que não aparece entre as opções.
Conclusão intermediária: o dígito das unidades de
Observação importante: as alternativas fornecidas no enunciado eram