O menor valor positivo de \alpha para que seja possível o sistema: \left\{\begin{array}{c}x-y=\alpha \\\\ 2(\cos 2 x+\cos 2 y)=1+4 \cos ^{2}(x-y)\end{array}\right. é:
(A) \frac{\pi}{12}
(B) \frac{\pi}{6}
(C) \frac{\pi}{4}
(D) \frac{\pi}{3}
(E) \frac{5 \pi}{12}
4\cos s\cos d = 1 + 4\cos^{2}d \quad\Longrightarrow\quad \cos s = \cos d + \dfrac{1}{4\cos d},
desde que \cos d\neq 0 (se \cos d=0 a expressão não faz sentido e não gera solução).
Explicação didática: \cos s é um cosseno, logo seu valor deve pertencer ao intervalo [-1,1]. Portanto a quantidade do lado direito deve satisfazer
\Bigl|\cos d + \dfrac{1}{4\cos d}\Bigr|\le 1.
Passo 4
Para analisar essa desigualdade, defina t:=\cos d. Temos t\in[-1,1] e t\neq 0. A condição de existência vira
\Bigl|t + \dfrac{1}{4t}\Bigr|\le 1.
Para resolver sem ambiguidade de sinal, eleve ao quadrado (isso é válido porque |\cdot| é não negativo):