Questão 44

O menor valor positivo de \alpha para que seja possível o sistema: \left\{\begin{array}{c}x-y=\alpha \\\\ 2(\cos 2 x+\cos 2 y)=1+4 \cos ^{2}(x-y)\end{array}\right. é:
(A) \frac{\pi}{12}
(B) \frac{\pi}{6}
(C) \frac{\pi}{4}
(D) \frac{\pi}{3}
(E) \frac{5 \pi}{12}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x-y=\alpha,\\[4pt] 2\big(\cos 2x+\cos 2y\big)=1+4\cos^{2}(x-y). \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A diferença entre as incógnitas é \alpha: \;x-y=\alpha.\n
  • A segunda equação envolve funções trigonométricas de x e y: \;2(\cos 2x+\cos 2y)=1+4\cos^{2}(x-y).\n
    O que o enunciado pede:
  • Determinar o menor valor positivo de \alpha para que exista ao menos uma solução real (x,y) do sistema.]

Passo 2

Simplificamos a segunda equação usando identidades trigonométricas e a informação x-y=\alpha.
Primeiro, use a identidade de soma de cossenos:
\cos A+\cos B = 2\cos\!\big(\tfrac{A+B}{2}\big)\cos\!\big(\tfrac{A-B}{2}\big).
Aplicando com A=2x e B=2y obtém-se
\cos 2x+\cos 2y = 2\cos(x+y)\cos(x-y).
Substituindo na segunda equação temos
2\big(\cos 2x+\cos 2y\big) = 2\cdot 2\cos(x+y)\cos(x-y) = 4\cos(x+y)\cos(x-y).
Como x-y=\alpha, chame:
d := x-y = \alpha,\qquad s := x+y.
A segunda equação fica então
4\cos s\cos d = 1 + 4\cos^{2}d.

Passo 3

Isolando \cos s da equação obtida:
4\cos s\cos d = 1 + 4\cos^{2}d \quad\Longrightarrow\quad \cos s = \cos d + \dfrac{1}{4\cos d},
desde que \cos d\neq 0 (se \cos d=0 a expressão não faz sentido e não gera solução).
Explicação didática: \cos s é um cosseno, logo seu valor deve pertencer ao intervalo [-1,1]. Portanto a quantidade do lado direito deve satisfazer
\Bigl|\cos d + \dfrac{1}{4\cos d}\Bigr|\le 1.

Passo 4

Para analisar essa desigualdade, defina t:=\cos d. Temos t\in[-1,1] e t\neq 0. A condição de existência vira
\Bigl|t + \dfrac{1}{4t}\Bigr|\le 1.
Para resolver sem ambiguidade de sinal, eleve ao quadrado (isso é válido porque |\cdot| é não negativo):
\Bigl(t + \dfrac{1}{4t}\Bigr)^{2}\le 1.
Expanda o quadrado:
t^{2} + 2\cdot t\cdot\dfrac{1}{4t} + \dfrac{1}{16t^{2}} \le 1 \quad\Longrightarrow\quad t^{2} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{16t^{2}} \le 1.
Subtraindo \tfrac{1}{2} e multiplicando por 16t^{2} (positivo), obtemos
16t^{4} + 1 \le 8t^{2}.
Coloque em forma quadrática em u:=t^{2}\ge 0:
16u^{2} - 8u + 1 \le 0.
Calcule o discriminante:
\Delta = (-8)^{2} - 4\cdot 16\cdot 1 = 64 - 64 = 0,
portanto a desigualdade só pode ser satisfeita no único ponto em que o polinômio zera:
u = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}.
Logo t^{2} = \dfrac{1}{4}, isto é
t = \pm \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Voltando para t=\cos d, achamos as possibilidades
\cos d = \dfrac{1}{2}\quad\text{ou}\quad \cos d = -\dfrac{1}{2}.
Para cada caso, calcule o valor correspondente de \cos s usando \cos s = t + \dfrac{1}{4t}.
  • Se t=\dfrac{1}{2}:
\cos s = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4\cdot(1/2)} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.
Isso corresponde a s = 2k\pi para algum inteiro k.
  • Se t=-\dfrac{1}{2}:
\cos s = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4\cdot(-1/2)} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = -1.
Isso corresponde a s = (2k+1)\pi para algum inteiro k.
Ambos os casos geram valores de \cos s admissíveis ( \pm1), então ambos são realmente compatíveis com existência de s (e, por consequência, de x,y).

Passo 6

Agora determine os valores positivos de d=\alpha com \cos d=\pm\dfrac{1}{2} e escolha o menor positivo.
As soluções básicas (no intervalo [0,2\pi)) são:
\cos d = \dfrac{1}{2}\\ \Longrightarrow\\ d = \dfrac{\pi}{3}\\ \text{ou}\\ d=\dfrac{5\pi}{3},
\cos d = -\dfrac{1}{2}\\ \Longrightarrow\\ d = \dfrac{2\pi}{3}\\ \text{ou}\\ d=\dfrac{4\pi}{3}.
O menor valor positivo dentre todas essas opções é
\alpha = d = \dfrac{\pi}{3}.

Passo 7

Para ficar totalmente tranquilo, mostre um par (x,y) que funciona com \alpha=\dfrac{\pi}{3}. Tome s=0 (que dá \cos s=1) e d=\dfrac{\pi}{3}. Então
x=\dfrac{s+d}{2}=\dfrac{\pi/3}{2}=\dfrac{\pi}{6},\qquad y=\dfrac{s-d}{2}=-\dfrac{\pi}{6}.
Verificação rápida:
2(\cos 2x+\cos 2y)=2\big(\cos\tfrac{\pi}{3}+\cos(-\tfrac{\pi}{3})\big)=2\big(\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}\big)=2,
1+4\cos^{2}(x-y)=1+4\cos^{2}\tfrac{\pi}{3}=1+4\cdot\big(\tfrac{1}{2}\big)^{2}=1+1=2.
Portanto o sistema é satisfeito com \alpha=\dfrac{\pi}{3}.

Resposta

(D) \dfrac{\pi}{3}

Exercícios relacionados