Questão 45. Sejam
e
matrizes de ordem 3 tais que
e
, então encontre o valor de
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (sem resolver ainda).
- São dadas duas matrizes
e de ordem (ou seja, são ). - Foi informado que
. - Foi informado que
. - O que o enunciado pede: calcular
.
Passo 2
Entender a informação
. Há uma propriedade básica de determinantes que diz que transpor uma matriz não muda seu determinante:
Explicando: a operação de transposição apenas troca linhas por colunas; o determinante é uma função multilinear alternada que toma o mesmo valor quando se troca linhas por colunas, portanto o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
Aplicando isso ao dado,
Aplicando isso ao dado,
Passo 3
Entender o que é
. Aqui
indica multiplicar a matriz
por escalar
(cada entrada de
é multiplicada por
). Há outra propriedade importante do determinante: se se multiplica uma matriz
por um escalar
, o determinante é multiplicado por
:
onde
é uma matriz de ordem
e
é um escalar. Explicando por que: multiplicar uma linha por
multiplica o determinante por
; em uma matriz
existem
linhas, então multiplicar todas as linhas por
multiplica o determinante por
.
No nosso caso,
e
. Portanto
Substituindo
,
Passo 4
Agora precisamos de
. Outra propriedade fundamental é que o determinante do produto é o produto dos determinantes:
para matrizes quadradas compatíveis. Aplicando essa propriedade com
e
,
Já calculamos
(Passo 2) e
(Passo 3). Logo,