Questão 45. Sejam A e B matrizes de ordem 3 tais que \operatorname{det}\left(A^{t}\right)=2 e \operatorname{det}(B)=3, então encontre o valor de \operatorname{det}(A \cdot 2 B).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que pede (sem resolver ainda).
  • São dadas duas matrizes A e B de ordem 3 (ou seja, são 3\times3).
  • Foi informado que \det\!\left(A^{t}\right)=2.
  • Foi informado que \det(B)=3.
  • O que o enunciado pede: calcular \det\!\bigl(A\cdot 2B\bigr).

Passo 2

Entender a informação \det\!\left(A^{t}\right)=2. Há uma propriedade básica de determinantes que diz que transpor uma matriz não muda seu determinante:
\det\!\left(A^{t}\right)=\det(A).
Explicando: a operação de transposição apenas troca linhas por colunas; o determinante é uma função multilinear alternada que toma o mesmo valor quando se troca linhas por colunas, portanto o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original.
Aplicando isso ao dado,
\det(A)=\det\!\left(A^{t}\right)=2.

Passo 3

Entender o que é 2B. Aqui 2B indica multiplicar a matriz B por escalar 2 (cada entrada de B é multiplicada por 2). Há outra propriedade importante do determinante: se se multiplica uma matriz n\times n por um escalar c, o determinante é multiplicado por c^{n}:
\det(cM)=c^{n}\det(M),
onde M é uma matriz de ordem n e c é um escalar. Explicando por que: multiplicar uma linha por c multiplica o determinante por c; em uma matriz n\times n existem n linhas, então multiplicar todas as linhas por c multiplica o determinante por c^n.
No nosso caso, n=3 e c=2. Portanto
\det(2B)=2^{3}\det(B).
Substituindo \det(B)=3,
\det(2B)=2^{3}\cdot 3=8\cdot 3=24.

Passo 4

Agora precisamos de \det\!\bigl(A\cdot 2B\bigr). Outra propriedade fundamental é que o determinante do produto é o produto dos determinantes:
\det(XY)=\det(X)\det(Y)
para matrizes quadradas compatíveis. Aplicando essa propriedade com X=A e Y=2B,
\det\!\bigl(A\cdot 2B\bigr)=\det(A)\det(2B).
Já calculamos \det(A)=2 (Passo 2) e \det(2B)=24 (Passo 3). Logo,
\det\!\bigl(A\cdot 2B\bigr)=2\cdot 24=48.

Resposta

48

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