— QUESTÃO 45

Uma senhora tem um jardim em sua residência. Infelizmente, suas rosas foram afetadas por uma determinada doença. A propagação da doença sobre seu jardim ocorreu da seguinte forma: uma rosa doente contamina outras quatro rosas sadias no período de uma semana e, em seguida, morre. Por sua vez, as rosas afetadas contaminam outras de forma igual. Após seis semanas, o número de rosas contaminadas será:
(A) 85
(B) 340
(C) 1365
(D) 1366

Passo 1

O enunciado pede: “Após seis semanas, o número de rosas contaminadas será…?”
Informações dadas (resumidas, com calma):
  • No início há uma rosa doente (uma só).
  • Cada rosa doente, durante uma semana, contamina outras quatro rosas sadias e depois morre.
  • As rosas recém-contaminadas repetem exatamente o mesmo comportamento nas semanas seguintes.
    Portanto queremos contar quantas rosas já foram contaminadas ao fim de seis semanas (vamos somar todas as rosas que ficaram doentes em cada semana).

Passo 2

Modelagem semana a semana (vamos definir bem as variáveis para não se perder):
Defina a_k = número de rosas que ficam contaminadas na semana k.
  • Na semana 1 temos a rosa inicial doente, logo a_1=1.
  • Cada rosa contaminada na semana k contamina 4 rosas na semana k+1. Isso dá a relação de recorrência
a_{k+1}=4\,a_k.
Esta é uma progressão geométrica (PG) onde cada termo é 4 vezes o anterior.

Passo 3

Usando a recorrência encontramos a fórmula fechada dos termos: como a_1=1 e a razão é 4, temos
a_k = 4^{\,k-1}.
Vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão e não confiar só na fórmula:
a_1=1,\quad a_2=4,\quad a_3=16,\quad a_4=64,\quad a_5=256,\quad a_6=1024.
Esses valores são fáceis de verificar pela regra “multiplica por 4 a cada semana”.

Passo 4

Queremos o total de rosas contaminadas ao fim de seis semanas, ou seja a soma dos a_k de k=1 até k=6:
\text{Total} = a_1+a_2+\cdots+a_6 = 1+4+16+64+256+1024.
Isto é a soma dos primeiros 6 termos de uma PG de razão r=4 e primeiro termo a=1. A fórmula geral para a soma dos n primeiros termos de uma PG (com r\neq1) é obtida assim: seja
S_n = 1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1}.
Multiplicando por r e subtraindo obtemos S_n(1-r)=1-r^n, logo
S_n = \frac{1-r^n}{1-r}.
Aqui r=4 e n=6, então
\text{Total} = S_6 = \frac{1-4^{6}}{1-4} = \frac{4^{6}-1}{3}.

Passo 5

Calculemos 4^{6} passo a passo (para você poder fazer na prova sem máquina):
4^2=16,\quad 4^3=64,\quad 4^4=256,\quad 4^5=1024,\quad 4^6=4096.
Substituindo na fórmula:
\text{Total}=\frac{4096-1}{3}=\frac{4095}{3}=1365.
Também podemos conferir somando os termos listados antes:
1+4=5,\;5+16=21,\;21+64=85,\;85+256=341,\;341+1024=1365,
o que confirma o resultado.

Resposta

(C) 1365

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