— QUESTÃO 45
Uma senhora tem um jardim em sua residência. Infelizmente, suas rosas foram afetadas por uma determinada doença. A propagação da doença sobre seu jardim ocorreu da seguinte forma: uma rosa doente contamina outras quatro rosas sadias no período de uma semana e, em seguida, morre. Por sua vez, as rosas afetadas contaminam outras de forma igual. Após seis semanas, o número de rosas contaminadas será:
(A) 85
(B) 340
(C) 1365
(D) 1366
(A) 85
(B) 340
(C) 1365
(D) 1366
Passo 1
O enunciado pede: “Após seis semanas, o número de rosas contaminadas será…?”
Informações dadas (resumidas, com calma):
Informações dadas (resumidas, com calma):
- No início há uma rosa doente (uma só).
- Cada rosa doente, durante uma semana, contamina outras quatro rosas sadias e depois morre.
- As rosas recém-contaminadas repetem exatamente o mesmo comportamento nas semanas seguintes.
Portanto queremos contar quantas rosas já foram contaminadas ao fim de seis semanas (vamos somar todas as rosas que ficaram doentes em cada semana).
Passo 2
Modelagem semana a semana (vamos definir bem as variáveis para não se perder):
Defina = número de rosas que ficam contaminadas na semana
.
Defina
- Na semana
temos a rosa inicial doente, logo . - Cada rosa contaminada na semana
contamina rosas na semana . Isso dá a relação de recorrência
Esta é uma progressão geométrica (PG) onde cada termo é 4 vezes o anterior.
Passo 3
Usando a recorrência encontramos a fórmula fechada dos termos: como
e a razão é
, temos
Vamos escrever explicitamente os primeiros termos para ver o padrão e não confiar só na fórmula:
Esses valores são fáceis de verificar pela regra “multiplica por 4 a cada semana”.
Passo 4
Queremos o total de rosas contaminadas ao fim de seis semanas, ou seja a soma dos
de
até
:
Isto é a soma dos primeiros
termos de uma PG de razão
e primeiro termo
. A fórmula geral para a soma dos
primeiros termos de uma PG (com
) é obtida assim: seja
Multiplicando por
e subtraindo obtemos
, logo
Aqui
e
, então
Passo 5
Calculemos
passo a passo (para você poder fazer na prova sem máquina):
Substituindo na fórmula:
Também podemos conferir somando os termos listados antes:
o que confirma o resultado.
Resposta
(C)