— QUESTÃO 46
Considere dois números reais
e
, tais que
,
e
. Com base nos conceitos da função logarítmica, conclui-se que
(A)
(B)
(C)
(D)
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
,
e
. Pede que identifiquemos, entre as alternativas (A), (B), (C) e (D), qual igualdade envolvendo logaritmos é correta. As alternativas são exatamente:
Nada mais é pedido além de decidir qual dessas igualdades é válida para todo
,
e todo
.
Passo 2
Vamos lembrar e entender as propriedades básicas dos logaritmos (aquelas que usamos como ferramentas para resolver a questão). Eu explico devagar, com atitude de amigo que já errou bastante antes de aprender isso.
Propriedade 1 — produto:
Explicação: se escrevemos
e
(onde
é a base do logaritmo, pode ser
,
ou outra), então
. Aplicando
aos dois lados dá
.
Propriedade 2 — quociente:
Explicação: similarmente,
, então
.
Propriedade 3 — potência:
Explicação:
. Aplicando
obtemos
.
Observação importante: nessas propriedades
e
porque logaritmo só está definido para números positivos — por isso o enunciado já deu
e
.
Passo 3
Agora vamos checar cada alternativa usando as propriedades acima. Começo pela (A).
Alternativa (A):
.
Verificação: pelas propriedades conhecidas não existe nenhuma regra que transforme soma dentro do log em produto de logs. A identidade verdadeira é
, que é soma de logs para produto dentro do log — nada a ver com
. Uma maneira direta de ver que (A) é falsa é um contraexemplo numérico simples: tome
e
. Então (usando log base
só para comparar)
Esses números são diferentes, logo a igualdade da alternativa (A) não vale em geral. Portanto (A) é falsa.
Passo 4
Alternativa (B):
.
Verificação passo a passo usando as propriedades:
- Pela propriedade da potência temos
Aqui eu usei explicitamente a regra
, com
e
.
- Subtraindo
dos dois lados:
- Aplicando a propriedade do quociente
com e , obtemos
Conclusão: as igualdades são todas equivalentes passo a passo, então a alternativa (B) é verdadeira para todo
,
e todo
. É a identidade correta.
Passo 5
Alternativa (C):
.
Verificação: o lado esquerdo pode ser simplificado com a propriedade da potência:
Ou seja, o lado esquerdo é um logaritmo de um produto:
.
Já o lado direito é o produto de dois logaritmos:
e não há nenhuma propriedade que transforme um logaritmo de produto em produto de logaritmos. Na maioria dos casos esses dois valores são diferentes. Exemplo numérico rápido com
,
,
:
Diferem bastante, logo (C) é falsa.
Passo 6
Alternativa (D):
.
Aqui atenção com a notação: a expressão
pode ser interpretada de duas maneiras (por falta de parênteses explícitos):
- interpretação 1:
, isto é dividido por ; - interpretação 2:
, isto é .
Vamos comparar com o que o lado esquerdo realmente é:
Usando a propriedade da potência e do quociente temos primeiro
, e também
Portanto o lado esquerdo é exatamente
.
Comparando:
- Se a notação do lado direito for
(interpretação 1), então a igualdade seria verdadeira. Porém essa não é a forma natural de escrever ; mais comum e clara seria escrever . - Se a notação for
(interpretação 2), então o lado direito vale
que não é igual, em geral, a
(a menos que
ou casos especiais).
Na forma como a alternativa está escrita sem parênteses, a interpretação mais natural do leitor matemático é a interpretação 2 (o expoente costuma aplicar-se ao conjunto
se a intenção fosse outra o autor colocaria parênteses). E, sob essa interpretação 2, a igualdade é falsa. Para confirmar, um contraexemplo: escolha
,
,
. Então
enquanto
Esses dois argumentos dentro do logaritmo são diferentes (
e
), logo a igualdade não vale. Portanto (D) é, na interpretação natural de escrita sem parênteses, falsa.
Passo 7
Recapitulando: das quatro alternativas apenas a (B) é correta de forma clara e sem ambiguidade. As demais são falsas (A e C por contradição direta com as propriedades dos logaritmos; D por ambiguidade e, na interpretação natural, falsa).
Resposta
(B)