— QUESTÃO 46

Considere dois números reais A, B e n, tais que A>0, B>0 e n \in R. Com base nos conceitos da função logarítmica, conclui-se que
(A) \log (A+B)=\log A \cdot \log B
(B) n \log A-\log B=\log \frac{A^{n}}{B}
(C) \log A+n \log B=\log A \cdot \log B^{n}
(D) \quad \log A-\log B^{n}=\log \frac{A}{B}^{n}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: A>0, B>0 e n\in\mathbb{R}. Pede que identifiquemos, entre as alternativas (A), (B), (C) e (D), qual igualdade envolvendo logaritmos é correta. As alternativas são exatamente:
\text{(A) }\log(A+B)=\log A\cdot\log B
\text{(B) }n\log A-\log B=\log\frac{A^{n}}{B}
\text{\text{(C)} }\log A+n\log B=\log A\cdot\log B^{n}
\text{(D) }\log A-\log B^{n}=\log \frac{A}{B}^{n}
Nada mais é pedido além de decidir qual dessas igualdades é válida para todo A>0, B>0 e todo n\in\mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar e entender as propriedades básicas dos logaritmos (aquelas que usamos como ferramentas para resolver a questão). Eu explico devagar, com atitude de amigo que já errou bastante antes de aprender isso.
Propriedade 1 — produto:
\log(ab)=\log a+\log b
Explicação: se escrevemos a=c^{x} e b=c^{y} (onde c é a base do logaritmo, pode ser 10, e ou outra), então ab=c^{x}c^{y}=c^{x+y}. Aplicando \log aos dois lados dá \log(ab)=x+y=\log a+\log b.
Propriedade 2 — quociente:
\log\frac{a}{b}=\log a-\log b
Explicação: similarmente, a/b=c^{x-y}, então \log(a/b)=x-y=\log a-\log b.
Propriedade 3 — potência:
\log(a^{k})=k\log a
Explicação: a^{k}=(c^{x})^{k}=c^{kx}. Aplicando \log obtemos \log(a^{k})=kx=k\log a.
Observação importante: nessas propriedades a>0 e b>0 porque logaritmo só está definido para números positivos — por isso o enunciado já deu A>0 e B>0.

Passo 3

Agora vamos checar cada alternativa usando as propriedades acima. Começo pela (A).
Alternativa (A): \log(A+B)=\log A\cdot\log B.
Verificação: pelas propriedades conhecidas não existe nenhuma regra que transforme soma dentro do log em produto de logs. A identidade verdadeira é \log(ab)=\log a+\log b, que é soma de logs para produto dentro do log — nada a ver com \log(A+B). Uma maneira direta de ver que (A) é falsa é um contraexemplo numérico simples: tome A=2 e B=3. Então (usando log base 10 só para comparar)
\log(2+3)=\log 5\approx 0{,}6990,
\log 2\cdot\log 3\approx 0{,}3010\cdot 0{,}4771\approx 0{,}1436.
Esses números são diferentes, logo a igualdade da alternativa (A) não vale em geral. Portanto (A) é falsa.

Passo 4

Alternativa (B): n\log A-\log B=\log\frac{A^{n}}{B}.
Verificação passo a passo usando as propriedades:
  1. Pela propriedade da potência temos
n\log A=\log\big(A^{n}\big).
Aqui eu usei explicitamente a regra \log(a^{k})=k\log a, com a=A e k=n.
  1. Subtraindo \log B dos dois lados:
n\log A-\log B=\log\big(A^{n}\big)-\log B.
  1. Aplicando a propriedade do quociente \log u - \log v = \log\frac{u}{v} com u=A^{n} e v=B, obtemos
\log\big(A^{n}\big)-\log B=\log\frac{A^{n}}{B}.
Conclusão: as igualdades são todas equivalentes passo a passo, então a alternativa (B) é verdadeira para todo A>0, B>0 e todo n\in\mathbb{R}. É a identidade correta.

Passo 5

Alternativa (C): \log A+n\log B=\log A\cdot\log B^{n}.
Verificação: o lado esquerdo pode ser simplificado com a propriedade da potência:
\log A+n\log B=\log A+\log\big(B^{n}\big)=\log\big(A\cdot B^{n}\big).
Ou seja, o lado esquerdo é um logaritmo de um produto: \log(A B^{n}).
Já o lado direito é o produto de dois logaritmos:
\log A\cdot\log B^{n},
e não há nenhuma propriedade que transforme um logaritmo de produto em produto de logaritmos. Na maioria dos casos esses dois valores são diferentes. Exemplo numérico rápido com A=2, B=3, n=1:
\log A+n\log B=\log(6)\approx 0{,}7782,
\log A\cdot\log B^{n}=\log 2\cdot\log 3\approx 0{,}3010\cdot 0{,}4771\approx 0{,}1436.
Diferem bastante, logo (C) é falsa.

Passo 6

Alternativa (D): \log A-\log B^{n}=\log \frac{A}{B}^{n}.
Aqui atenção com a notação: a expressão \log \frac{A}{B}^{n} pode ser interpretada de duas maneiras (por falta de parênteses explícitos):
  • interpretação 1: \log\!\big(\frac{A}{B^{n}}\big), isto é A dividido por B^{n};
  • interpretação 2: \log\!\big(\big(\frac{A}{B}\big)^{n}\big), isto é \left(\frac{A}{B}\right)^{n}.
Vamos comparar com o que o lado esquerdo realmente é:
\log A-\log B^{n}=\log A-\log\big(B^{n}\big).
Usando a propriedade da potência e do quociente temos primeiro \log\big(B^{n}\big)=n\log B, e também
\log A-\log\big(B^{n}\big)=\log\!\left(\frac{A}{B^{n}}\right).
Portanto o lado esquerdo é exatamente \log\!\big(\tfrac{A}{B^{n}}\big).
Comparando:
  • Se a notação do lado direito for \log\!\big(\tfrac{A}{B^{n}}\big) (interpretação 1), então a igualdade seria verdadeira. Porém essa não é a forma natural de escrever \log\!\big(\tfrac{A}{B^{n}}\big); mais comum e clara seria escrever \log\!\left(\dfrac{A}{B^{n}}\right).
  • Se a notação for \log\!\big(\left(\tfrac{A}{B}\right)^{n}\big) (interpretação 2), então o lado direito vale
\log\!\left(\left(\frac{A}{B}\right)^{n}\right)=n\log\!\left(\frac{A}{B}\right)=n(\log A-\log B),
que não é igual, em geral, a \log A-\log B^{n} (a menos que n=1 ou casos especiais).
Na forma como a alternativa está escrita sem parênteses, a interpretação mais natural do leitor matemático é a interpretação 2 (o expoente costuma aplicar-se ao conjunto \frac{A}{B} se a intenção fosse outra o autor colocaria parênteses). E, sob essa interpretação 2, a igualdade é falsa. Para confirmar, um contraexemplo: escolha A=2, B=3, n=2. Então
\log A-\log B^{n}=\log 2-\log 3^{2}=\log 2-\log 9=\log\!\left(\frac{2}{9}\right),
enquanto
\log\!\left(\left(\frac{A}{B}\right)^{n}\right)=\log\!\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\right)=\log\!\left(\frac{4}{9}\right).
Esses dois argumentos dentro do logaritmo são diferentes ( \tfrac{2}{9} e \tfrac{4}{9}), logo a igualdade não vale. Portanto (D) é, na interpretação natural de escrita sem parênteses, falsa.

Passo 7

Recapitulando: das quatro alternativas apenas a (B) é correta de forma clara e sem ambiguidade. As demais são falsas (A e C por contradição direta com as propriedades dos logaritmos; D por ambiguidade e, na interpretação natural, falsa).

Resposta

(B)

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