Questão 47: Um disco de plástico de 75 g é jogado de uma altura de 1,1 \mathrm{~m} acima do solo com uma velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Quando ele atinge uma altura de 2,1 \mathrm{~m}, sua velocidade é de 10,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual o trabalho realizado sobre o disco pelo seu próprio peso? (b) Qual a energia mecânica dissipada pela resistência do ar?

Passo 1

O enunciado dá um disco de massa m=75\:\text{g}=0,075\:\text{kg} lançado de y_{1}=1{,}1\:\text{m} com velocidade v_{1}=12\:\text{m/s} e que ao atingir y_{2}=2{,}1\:\text{m} tem velocidade v_{2}=10{,}5\:\text{m/s}.
Conteúdo: trabalho de força peso (força conservativa) e teorema da energia mecânica para forças não-conservativas (resistência do ar).

Passo 2

O trabalho da força peso quando o disco sobe de y_{1} a y_{2} é
W_{g}=mg\,(y_{1}-y_{2})
com g=9,8\:\text{m/s}^{2}. Assim,
W_{g} = 0,075\cdot9,8\,(1{,}1-2{,}1) =0,735\cdot(-1{,}0) = -0,735\:\text{J}
Arredondando, W_{g}\approx -0,74\:\text{J}.

Passo 3

Calculemos as energias cinética e potencial nos pontos inicial e final:
K1 e U1 em y_{1}:
K_{1}=\tfrac12\,m\,v_{1}^{2} =\tfrac12\cdot0,075\cdot12^{2} =5,40\:\text{J}, \quad U_{1}=m g\,y_{1} =0,075\cdot9,8\cdot1{,}1 =0,8085\:\text{J}.
K2 e U2 em y_{2}:
K_{2}=\tfrac12\,m\,v_{2}^{2} =\tfrac12\cdot0,075\cdot10{,}5^{2} =4,1344\:\text{J}, \quad U_{2}=m g\,y_{2} =0,075\cdot9,8\cdot2{,}1 =1,5435\:\text{J}.
A variação da energia mecânica é
\Delta E = (K_{2}+U_{2}) - (K_{1}+U_{1}) = (4,1344+1,5435) - (5,40+0,8085) =5,6779 - 6,2085 = -0,5306\:\text{J}.

Passo 4

Pela teorema da energia mecânica,
W_{\text{nc}} = \Delta E,
onde W_{\text{nc}} é o trabalho das forças não-conservativas (a resistência do ar). Logo
W_{\text{ar}} = -0,5306\:\text{J}.
Em módulo, a energia mecânica dissipada pela resistência do ar é 0,5306\:\text{J}, ou aproximadamente 0,53\:\text{J}.

Resposta

(a) W_{g} = -0,74\:\text{J}.
(b) Energia dissipada pela resistência do ar \approx 0,53\:\text{J}.

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